5.3. Идеальный колебательный контур

На рис. 5.8 конденсатор С соединён с катушкой индуктивности L.

Если зарядить конденсатор от источника электрического питания Б, сообшив ему заряд Q_м - на нижней обкладке, - Q_м - на верхней, и создав между его обкладками напряжение

= ,

а потом отсоединить его от источника Б, конденсатор С начнёт разряжаться через катушку индуктивности L.

Рис.5.8 Идеальный колебательный контур.

Сила тока через катушку L равна скорости разрядки конденсатора С - скорости перетекания заряда q с нижней обкладки конденсатора на верхнюю – скорости убывания заряда на нижней обкладке:

i =

При возникновении тока в катушке индуктивности L появляется электродвижущая сила самоиндукции E_си , препятствующая нарастанию тока

E_си = = - L (5.1)

Поэтому сила тока нарастает с некоторым замедлением, и конденсатор разряжается не мгновенно, но через некоторое время он всё же разрядится, заряд q и напряжение на нём станут равны нулю.

Но теперь ЭДС самоиндукции E_си в катушке индуктивности станет препятствовать уменьшению тока, и вследствие этого заряды продолжат перетекать с нижней обкладки конденсатора на верхнюю. Конденсатор будет перезаряжаться. Теперь на верхней обкладке - «плюс», а на нижней - «минус». И наконец конденсатор полностью перезарядится - на верхней обкладке будет заряд Q_m , а на нижней - Q_m . Затем процесс повторится, но уже в обратном направлении: разрядка конденсатора - появление в катушке индуктивности ЭДС самоиндукции, которая сначала препятствует уменьшению тока, а потом его поддерживает – перезарядка конденсатора. Так возникают незатухающие электромагнитные колебания в этом идеальном колебательном контуре. ( Идеальный – потому что не учитывалось активное сопротивление контура - R).

Математическая модель колебаний в идеальном колебательном контуре такая же, как и для незатухающих колебаний пружинного маятника ( см гл. 1 ). Заряд конденсатора q аналогичен смещению от положения равновесия s, индуктивность L – массе m, а мгновенное значение силы тока i - скорости пружинного маятника v.

Согласно II закону Кирхгофа, сумма падений напряжений в замкнутом контуре равна сумме ЭДС:

(5.2)

В данном случае

U_c = E_L

_, U_C = - напряжение на конденсаторе C, а E_L = - L - ЭДС самоиндукции в катушке индуктивности L.

Учтя, что i = и следовательно = , получим

дифференциальное уравнение незатухающих электромагнитных колебаний в идеальном колебательном контуре:

= - L (5.3)

Или

+ q = 0

Обозначив = , получим:

+ q = 0 (5.4)

Решение этого дифференциального уравнения:

q = Q_m sin( t + ) (5.5)

и

i = = Q_mcos( t + ) = I_mcos( t + )

где I_m= Q_m

Таким образом, в идеальном колебательном контуре получаются гармонические электромагнитные колебания с круговой частотой = , линейной частотой = и периодом колебаний:

T = 2 - это формула Томсона

Энергия электрического поля между обкладками конденсатора будет меняться со временем по закону (см. гл 1):

= = sin²( t + ) = (1-cos²( t + ))

А энергия магнитного поля в катушке индуктивности:

= = sin²( t + ) = (1-cos²( t + ))

На рисунке 5.9 представлены графики временных зависимостей заряда конденсатора q, силы тока через катушку индуктивности i , энергий электрического поля конденсатора W_э и магнитного катушки индуктивности W_м, а также суммарной энергии контура W = W_э + W_м . На этих графиках приняли начальную фазу колебаний = 0 , то есть начало отсчёта времени t=0 – состояние колебательного контура, когда конденсатор разрядился q = 0, а сила тока i = I_m .

Рис. 5.9 Графики временных зависимостей заряда конденсатора q, силы тока через катушку индуктивности i, энергий электрического поля конденсатора W_э и магнитного катушки индуктивности W_м, а также суммарной энергии контура W = W_э + W_м .

Энергия электрического поля W_э конденсатора аналогична потенциальной энергии пружинного маятника Е_п , а энергия магнитного поля катушки индуктивности W_м аналогична кинетической энергии Е_к. , и так же, как в пружинном маятнике, за период колебаний два раза происходит превращение из одного вида в другой

W_э W_м

Когда заряд на конденсаторе q = Q_m , напряжение между его обкладками U_c = U_m = ,ток i=0, W_э = = , а W_м = 0.

Через четверть периода наоборот q = 0, а i = I_m , W_э = 0, W_м = .

При этом суммарная энергия W = W_э + W_м не меняется.

В реальных случаях так никогда не бывает. Всегда есть активное сопротивление цепи, на котором при нагревании проводов электромагнитная энергия переходит во внутреннюю энергию. Поэтому в реальном колебательном контуре колебания всегда затухающие.