5.3. Изображение синусоидальных функций времени в комплексной форме

       При расчетах цепей синусоидального тока используют символический метод расчета или метод комплексных амплитуд. В этом методе сложение двух синусоидальных токов заменяют сложением двух комплексных чисел, соответствующих этим токам.      Из курса математики известно, что комплексное число может быть записано в показательной или алгебраической форме:

         где с - модуль комплексного числа;                φ- аргумент;                a - вещественная часть комплексного числа;                b - мнимая часть;                j - мнимая единица, j = √-1.

      С помощью формулы Эйлера можно перейти от показательной формы записи к алгебраической.

      От алгебраической формы записи переходят к показательной форме с помощью формул:

      Комплексное число может быть представлено в виде радиус - вектора в комплексной плоскости. Вектор длиной, равной модулю c, расположен в начальный момент времени под углом φ относительно вещественной оси (рис.6.3).

 Умножим комплексное число на множитель .      Радиус - вектор на комплексной плоскости повернется на уголβ.      Множитель называется поворотным.                                           Рис.5.3

      Если , то вектор, умноженный на, превратится во вращающийся со скоростьюω радиус - вектор.        Выражение называется комплексной функцией времени.      Применительно к напряжению, получим- комплексную функцию времени для напряжения.- комплексная амплитуда напряжения (исходное положение вектора в комплексной плоскости). Определим, чему равна мнимая часть комплексной функции времени для напряжения.

    Мгновенное синусоидальное напряжение (ток, ЭДС) является мнимой частью соответствующей комплексной функции времени.

    Замечание. В электротехнике над символами, изображающими комплексные напряжения, токи, ЭДС, принято ставить точку.      Синусоидальные функции времени могут быть представлены векторами в комплексной плоскости, вращающимися против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью ω. Проекция вектора на мнимую ось изменяется по синусоидальному закону.

     Пример.

    Сложение синусоидальных токов заменим сложением комплексных амплитуд, соответствующих этим токам.

      Амплитуда результирующего тока , начальная фаза -.

      Мгновенное значение результирующего тока

.

      Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме:

- закон Ома;      (6.4)                       - первый закон Кирхгофа;     (6.5)- второй закон Кирхгофа.   (6.6)

5.4 Сопротивление в цепи синусоидального тока

      Если напряжение подключить к сопротивлению R, то через него протекает ток

(5.7)

     Анализ выражения (5.7) показывает, что напряжение на сопротивлении и ток, протекающий через него, совпадают по фазе.         Формула (5.7) в комплексной форме записи имеет вид

(5.8)

      где и- комплексные  амплитуды  тока и напряжения.      Комплексному уравнению (5.8) соответствует векторная диаграмма (рис. 5.4).

 Из анализа диаграммы следует, что векторы напряжения и тока совпадают по направлению.      Сопротивление участка цепи постоянному току называется омическим, а сопротивление того же участка переменному току - активным сопротивлением.                                Рис.5.4      Активное сопротивление больше омического из-за явления поверхностного эффекта. Поверхностный эффект заключается в том, что ток вытесняется из центральных частей к периферии сечения проводника.