Замечание 1.5. В обоих приведенных выше примерах δ-образной последовательности существенным обстоятельством является единичная площадь под графиком функций gε(x).

Утверждение 1.4. Сходящиеся последовательности (è ðÿäû) из обобщенных функций можно почленно дифференцировать (любое число раз).

(fn0 , φ) = −(fn, φ0) → −(f, φ0) = (f0, φ)

n→∞

1.2.4Формула суммирования Пуассона

Используя утверждение 1.4, нетрудно получить известную формулу, имеющую многочисленные приложения.

Рассмотрим функцию f(x), заданную на отрезке [0, 2π] по формуле f(x) = 2xπ и продол- женную за пределы этого отрезка с периодом 2π. Как и всякая периодическая функция,

она раскладывается в ряд Фурье (который, как известно, сходится к самой функции в точках непрерывности и к серединным значением в точках разрыва ):

Функция f(x) локально-суммируема; соответствующую ей регулярную обобщенную функцию можно дифференцировать, и при этом применить почленное дифференцирование ряда Фурье. Получаем

Это и есть формула суммирования Пуассона (в одном из вариантов).

1.3ЛОКАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ

Несмотря на то, что о значениях обобщенных функций в точках говорить бессмысленно , можно ввести понятие носителя обобщенной функции (ò.å. множества точек, на которых она отлична от нуля) è, как следствие, можно сравнивать обобщенные функции на интервалах.

10

1.3.1Носитель обобщенной функции

Определение 1.14. Обобщенная функция f называется равной нулю на интервале (a, b)

(на множестве I; пишем f|I = 0), åñëè (f, φ) = 0 для всех пробных функций φ, обращающихся в ноль âíå интервала (a, b) (множества I).

Определение 1.15. Две обобщенные функции совпадают на интервале (множестве), если их разность равна нулю на этом интервале (множестве).

Определение 1.16. Носителем обобщенной функции называется :

. S n o supp f = R\ (a, b) : f|(a,b) = 0 .

Замечание 1.6. Разумеется, определение обобщенного носителя совпадает с классическим носителем регулярных обобщенных функций, например, supp θ(x) = (0, ∞) (проверьте!).

Утверждение 1.5. supp δ(x) = {0}

φ(x) такой, ÷òî φ(0) = 0, (δ(x), φ) = 0. Поэтому δ(x)|{x6=0} = 0

В связи с этим можно говорить, ÷òî δ-функция ”сосредоточена в точке x = 0”. Носитель обобщенной функции обладает следующими свойствами (проверьте!):

Утверждение 1.6. 1) h(x) C∞ supp h(x)f(x) supp f(x), причем h(x)|I = 0

h(x)f(x)|I = 0 (таким образом, φ(x)f(x), φ K— всегда финитная обобщенная функция). 2) supp f0(x) supp f(x) (ò.å. можно говорить об обобщенном дифференцирова-

нии как о локальной операции).

В частности, supp δ(n) = {0}. Более того, ниже мы увидим, что любая обобщенная функция, сосредоточенная в нуле (любой точке), представляется в виде линейной комбинации δ-функции и е¼ производных.

1.3.2Обобщенные решения уравнения xmf(x) = 0

Напомним, что под обобщенным решением уравнения понимается такой функционал f, который анулирует действие левой части уравнения на любую пробную функцию .

Утверждение 1.7. Обобщенным решением уравнения xf(x) = 0 является f(x) = Cδ(x), ãäå C — произвольная постоянная.

Зафиксируем произвольную пробную функцию φ0(x), удовлетворяющую дополнительному условию φ0(0) = 1, и составим вспомогательную функцию

1

ψ(x) = x [φ(x) − φ(0)φ0(x)] ,

ãäå φ(x) — произвольная пробная функция. Проверим, ÷òî ψ(x) K. Действительно, финитность ψ вытекает из финитности φ, а существование производных — из возможности переписать ψ(x) в виде интеграла

11