- •1 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ: ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
- •1.1.1 Пространство основных функций
- •1.2 ДЕЙСТВИЯ НАД ОБОБЩЕННЫМИ ФУНКЦИЯМИ
- •1.2.1 Дифференцирование обобщенных функций
- •1.2.2 Замена переменной обобщенной функции
- •1.2.4 Формула суммирования Пуассона
- •1.3 ЛОКАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
- •1.3.1 Носитель обобщенной функции
- •1.4 СТЕПЕННЫЕ ОСОБЕННОСТИ
- •1.4.1 Регуляризация степенных особенностей
- •1.4.4 Формулы Сохоцкого
- •1.5 ВЫБОРОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ОБОЩЕННЫХ ФУНКЦИЯХ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
- •1.5.1 Прямое произведение обобщенных функций
- •1.6 СВЕРТКА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
- •1.6.1 Классическая свертка
- •1.6.2 Обобщенная свертка
- •1.7 ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
- •1.7.1 Обобщенные и классические решения
- •1.7.2 Фундаментальные решения
- •1.7.3 Фундаментальное решение и задача Коши
- •2 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ МЕДЛЕННОГО РОСТА И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
- •2.1 КЛАССИЧЕСКОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
- •2.1.1 Преобразование Фурье классической свертки
- •2.1.2 Равенство Парсеваля
- •2.1.3 Соотношение неопределенности
- •2.1.4 Многомерное преобразование Фурье
- •2.2 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ МЕДЛЕННОГО РОСТА
- •2.3 ОБОБЩЕННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
- •2.4 МЕТОД ФУРЬЕ ПОСТРОЕНИЯ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ ОПЕРАТОРОВ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
- •3 ПОСТАНОВКА И КОРРЕКТНОСТЬ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ (КРАТКИЙ ОБЗОР)
- •3.1 КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
- •3.2.1 Теорема Ковалевской и пример Адамара
- •3.3 ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ
- •3.3.1 Формулы Грина
- •3.3.2 Единственность внутренней смешанной задачи для волнового уравнения
- •3.3.3 Единственность внутренней смешанной задачи для уравнения теплопроводности
- •3.3.4 Единственность внутренней краевой задачи для уравнения Пуассона
- •3.3.5 Единственность внешних краевых задач для уравнения Пуассона
- •4 ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
- •4.1 ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ПРОСТЕЙШИХ ОПЕРАТОРОВ
- •4.1.1 Волновое уравнение
- •4.1.2 Уравнение теплопроводности
- •4.2 ОБОБЩЕННАЯ ЗАДАЧА КОШИ
- •4.2.1 Постановка и решение обобщенной задачи Коши для волнового уравнения
- •4.2.2 Запаздывающие потенциалы
- •4.2.3 Формула Даламбера
- •4.2.4 Формулы Кирхгофа и Пуассона
- •4.2.5 Задачи Коши для уравнения теплопроводности
- •4.3 ФУНКЦИЯ ГРИНА КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА
- •4.3.1 Метод отражений
- •ДОПОЛНЕНИЯ
- •II ФРАКТАЛЬНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
- •III -ФУНКЦИЯ
- •СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
2.3ОБОБЩЕННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Èòàê, теперь можно принять следующее
Определение 2.6. Преобразование Фурье feфункционала f S∂ – это тоже функционал из S∂, действующий по правилу (fe, φ) = (f, φe).
Пример |
2.5. |
|
= 1 |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
iξx |
|
|
|
|
(0) = R |
( ) |
|
= (1 |
) |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
δ |
|
. Действительно, (δ, φ) = (δ, φ) = φ |
|
|
φ x |
dx |
|
, φ . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2.6. |
e |
|
|
|
e |
|
e |
|
( |
) |
|
|
e |
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пример |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
R R |
φ ξ e |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
(F [θ], φ) = (θ, φ) = |
|
|
|
dξ |
dx . Переставить порядок интегрирова- |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ния нельзя |
|
|
поскольку интеграл по x разойдется Однако можно продолжить выклад- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
φ(ξ) |
|
|
|
|
|
|
|
· · · = ε→0 0 |
iR |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε→0 |
|
0 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом |
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
R |
|
|
|
|
|
|||||||||
ки под знаком предела: |
|
lim |
|
|
φ(ξ)ei(x+iε)ξdξ |
|
dx = lim |
φ(ξ) |
ei(x+iε)ξdx dξ = |
|||||||||||||||||||||||||||||
lim |
R |
|
|
|
|
|
dξ. |
|
2.1 |
|
|
, F [θ] = |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
, |
|||||
|
|
|
|
ξ−iε |
|
|
|
|
|
|
ξ+i0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
ε 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
→ |
Свойства |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
сохраняются и для обобщенного преобразования Фурье |
|
Проверим |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
например, второе из них: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
(dξd f, φ) = (f, −φ0) = (f, −F [φ0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
]) = f, (ix)φ = (ix)f, φ = (F [(ix)f], φ) , ò.å. dξd f = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
2.1 |
e |
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
||||
F [(ix)f] . |
|
|
Доказательство остальных пунктов в |
|
проводится аналогичными рассу- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
ждениями. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обратное обобщенное преобразование Фурье можно определить либо как F −1[f(ξ)](x) = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2проверьте− |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
2π |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|||||||||||||
1 |
F [f(ξ)]( x) , ëèáî êàê F −1[f(ξ)](x) |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
π |
= |
|
F [f( |
|
ξ)](x) . Эти определения эквивалентны |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
( |
|
|
|
e |
|
|
!). |
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Утверждение 2.7. Обобщенное преобразование Фурье инволютивно , F F −1[f] = F −1F f = f (и, следовательно, F 2[f] = 2πf(−x)).
( |
|
− |
[ |
] |
|
) = |
|
− |
|
|
|
1 |
2π |
|
1 |
− |
|
1 |
2π |
|
− |
|
|
|||||||
|
F F |
|
1 |
|
f |
, φ |
F |
|
1 |
[f], φ = |
1 |
F [f]( |
ξ), φ = f, |
1 |
F [φ( |
|
ξ)] = (f, φ) . |
|
||||||||||||
Пример |
2.7. |
|
|
|
|
− |
|
e |
. |
|
|
− |
|
|
|
2eπ |
|
[1] |
|
|
e |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
Имеем F |
|
|
|
[1] = δ |
|
Íî F |
|
|
[1] = |
|
F |
|
|
|
F [1] = 2πδ. |
|
Пример 2.8. Найдем F [P x1 ]. Из примера 2.6 имеем, с использованием формул Сохоцкого
1.4.4 , P x1 = −iθ + iπδ |
F [P x1 |
] = −2πiθ(−ξ) + iπ = iπsign(ξ) . |
|
|
|
|
1.2.4 на пробную |
||||||||||
Пример 2.9. |
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||
|
Подействовав левой и правой частью формулы Пуассона |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
P e |
|
|
|
функцию φ, можно переписать эту формулу так: |
φ(2πk) = |
2π |
|
φ(k). |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
Обобщенное равенство Парсеваля |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— |
|
|
(f, φ) = (f, F F −1[φ]) = f, F |
−1[φ] = |
1 |
f(ξ), φ(−ξ) = |
1 |
|
|
f(ξ), φ(ξ)! |
. В частно- |
|||||||||
2π |
2π |
|
|||||||||||||||
ñòè, ïðè f = φ ýòî – |
|
e |
|
|
e e |
|
. |
|
|
|
|
|
e |
e |
|
|
|
|
|
классическое равенство Парсеваля |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обобщенное преобразование Фурье свертки
Следует сразу оговориться, что, поскольку в правой части формулы мы ожидаем произведение преобразований Фурье, то один из множителей должен быть классической и гладкой функцией (и притом ”медленного роста”). Для простоты сделаем еще более сильные предположения.
27
Утверждение 2.8. Пусть f K0, ψ K. Тогда F [f ψ] = feψe.
(F [f ψ], φ) = (f ψ, φ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
f, (ψ, φ(x + y)) |
. Во внутренних скобках - действие регу- |
|||||||||||||||||||||||
лярного функционала ψ |
e |
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Поэтому (ψ, φ(x + y)) = |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
на классическое преобразование Фурье |
|
e |
||||||||||||||||
ψ(y)dy |
R |
e |
|
, |
|
φ(ξ)dξ = |
:R |
φ(ξ)e |
|
R[ |
e |
|
ψ(y)dy |
dξ = F [φ ψ]. Продолжая |
|||||||||||
R |
|
|
|
|
|
|
= |
|
iξx |
|
|
iξy |
|
] = ( |
|
) = ( |
ee e |
) |
|
||||||
|
|
|
iξ(x+y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
начатую це- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
e |
e |
|
|
|||||||
почку равенств |
|
получаем ... |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
f, F φ |
|
ψ |
|
f, φψ |
|
fψ, φ . |
|
2.4МЕТОД ФУРЬЕ ПОСТРОЕНИЯ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ ОПЕРАТОРОВ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
В этом разделе мы рассмотрим построение методом Фурье фундаментального решения дифференциального оператора с постоянными коэффициентами .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
dk |
|
||
Итак, надо найти решение, удовлетворяющее уравнению LE = δ, где L = k=0 pk |
, pk – |
|||||||||||||||||||||
dxk |
||||||||||||||||||||||
постоянные числа. Применим к обеим частям уравнения преобразование |
P. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Фурье |
Получим |
||||
|
|
|
|
|
. |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L(−iξ)E = 1, ãäå L(λ) – полином L(λ) = k=0 pkλk. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Запишем временно решение |
|
P |
|
|
= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
e |
|
|
|
|
|
|
L( iξ) |
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
уравнения |
− |
|
|
|
|
êàê |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
E = ”L(−iξ) ” + общее решение |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
||||||||
|
e |
|
1 |
|
|
|
|
однородного уравнения |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
где первое |
– |
какое либо частное решение |
. |
Çíàÿ |
E, |
мы можем найти |
E |
путем |
||||||||||||||
|
слагаемое |
|||||||||||||||||||||
Обсудим некоторые детали. Âî-первых, упомянутое в |
e |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
применения обратного преобразования Фурье . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
предыдущей строке общее решение однородного уравнения – это сумма (с произвольными коэффициентами) δ-функций, сосредоточенных в корнях полинома L(−iξ) (в случае кратных корней в эту сумму входят и производные δ-функций, см. раздел 1.3.2 ). Поэтому обратное преобразование Фурье от общего решения однородного уравнения приведет к сумме (с произвольными коэффи-
циентами) экспонент вида eiξmx, ξm – корни полинома L(−iξ) (в случае кратных корней
– к слагаемым вида xneiξmx). Таким образом, общее решение однородного алгебраическо-
го уравнения L(−iξ)y = 0 и общее решение однородного дифференциального уравнения
Ly = 0 связаны преобразованием Фурье. |
|
1 |
|
|
|
|
|||||
|
необходимо придать четкий смысл функционалу |
|
|
|
|
выражающему |
|||||
Âî-вторых, |
”L(−iξ) |
”, |
|||||||||
e |
|
|
|
|
|||||||
частное решение уравнения |
|
При отсутствии у полинома |
L(−iξ) |
веществен- |
|||||||
ных корней выражение 1 L(−iξ)y = 1. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
является гладкой функцией на вещественной оси (кавычки |
||||||||
|
L(−iξ) |
||||||||||
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
попросту не нужны), и обратное преобразование Фурье от этого слагаемого следует понимать как классическое (при этом интеграл, как правило, удается вычислить с помощью вычетов). При наличии же вещественных корней у L(−iξ) (пусть ξj – один из таких кор-
ней кратности nj) выражение 1 . Те дроби, L(−iξ) следует разбить в сумму простых дробей
знаменатели которых не обращаются в ноль на вещественной оси , обрабатываются, êàê
сказано выше. Что же касается слагаемых вида ” −1 n ”, ni 6 nj, то их можно понимать
(ξ ξj) i
êàê любую из регуляризаций целочисленных степенных особенностей (ñì. раздел 1.4.3 ).
Например, в качестве такой регуляризации можно взять функционалы P −1 n .
(ξ ξj) i
Напомним, что различные регуляризации могут различаться как раз на общее решение однородного уравнения L(−iξ)ye = 0.
28
Пример 2.10. Рассмотрим два оператора L = −dxd22 ±a2. Преобразованием Фурье получаем
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
имеем |
|
|
1 |
|
(для фундаментального решения) (ξ |
|
±a |
)E |
= 1. В случае знака ”+” |
|
E(ξ) = |
ξ2 |
+a2 |
+ |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
− |
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
R |
ξ +e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
e−a|x| |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
e−iξx |
1 |
|
|
ax |
|
1 |
C2e− |
ax |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
C1δ(ξ |
|
ia) + C2δ(ξ + ia) |
|
(x) = |
2π |
|
2 |
|
a2 |
dξ + |
2π |
C1e |
|
|
+ |
2π |
|
|
(в дальнейшем общее |
||||||||||||||||||||
решение однородного уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
находим |
E(x) = |
2a . |
|||||||||||||||
|
4 (−sign( ) |
− |
|
|
|
опускаем |
|
|
Вычисляя интеграл |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
e2a sin( |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
пример 2.8) E(x) = |
|||||||||||||||||||
В случае же знака ”-” |
ó íàñ E |
(ξ) |
|
= |
2a |
|
|
P |
ξ−a |
− P |
ξ+a |
|
|
(ñì. |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
i |
|
|
x e iax + sign(x)eiax) = |
|
1 |
|
|
|
|
ax)sign(x). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2.11. Попробуем решить методом Фурье очень простое уравнение y0 = 1. После преобразования Фурье получаем −iξye = 2πδ(ξ). Найти частное решение делением на ξ в данном случае нельзя, поскольку обобщенную функцию δ(ξ) можно умножать только на гладкие функции. Таким образом, применение метода Фурье наталкивается здесь на трудности (причина которых в том, что правая часть исходного уравнения не убывает). Однако в силу простоты задачи эти трудности , конечно, обходятся. Действительно, легко проверить, что общим решением уравнения −iξye = 2πδ(ξ) является
y(ξ) = Cδ(ξ) + 2π δ0 |
(ξ) |
|
y(x) = |
C |
+ x. |
|
|
||||||
e |
i |
|
2π |
|
29