- •1 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ: ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
- •1.1.1 Пространство основных функций
- •1.2 ДЕЙСТВИЯ НАД ОБОБЩЕННЫМИ ФУНКЦИЯМИ
- •1.2.1 Дифференцирование обобщенных функций
- •1.2.2 Замена переменной обобщенной функции
- •1.2.4 Формула суммирования Пуассона
- •1.3 ЛОКАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
- •1.3.1 Носитель обобщенной функции
- •1.4 СТЕПЕННЫЕ ОСОБЕННОСТИ
- •1.4.1 Регуляризация степенных особенностей
- •1.4.4 Формулы Сохоцкого
- •1.5 ВЫБОРОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ОБОЩЕННЫХ ФУНКЦИЯХ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
- •1.5.1 Прямое произведение обобщенных функций
- •1.6 СВЕРТКА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
- •1.6.1 Классическая свертка
- •1.6.2 Обобщенная свертка
- •1.7 ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
- •1.7.1 Обобщенные и классические решения
- •1.7.2 Фундаментальные решения
- •1.7.3 Фундаментальное решение и задача Коши
- •2 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ МЕДЛЕННОГО РОСТА И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
- •2.1 КЛАССИЧЕСКОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
- •2.1.1 Преобразование Фурье классической свертки
- •2.1.2 Равенство Парсеваля
- •2.1.3 Соотношение неопределенности
- •2.1.4 Многомерное преобразование Фурье
- •2.2 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ МЕДЛЕННОГО РОСТА
- •2.3 ОБОБЩЕННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
- •2.4 МЕТОД ФУРЬЕ ПОСТРОЕНИЯ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ ОПЕРАТОРОВ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
- •3 ПОСТАНОВКА И КОРРЕКТНОСТЬ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ (КРАТКИЙ ОБЗОР)
- •3.1 КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
- •3.2.1 Теорема Ковалевской и пример Адамара
- •3.3 ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ
- •3.3.1 Формулы Грина
- •3.3.2 Единственность внутренней смешанной задачи для волнового уравнения
- •3.3.3 Единственность внутренней смешанной задачи для уравнения теплопроводности
- •3.3.4 Единственность внутренней краевой задачи для уравнения Пуассона
- •3.3.5 Единственность внешних краевых задач для уравнения Пуассона
- •4 ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
- •4.1 ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ПРОСТЕЙШИХ ОПЕРАТОРОВ
- •4.1.1 Волновое уравнение
- •4.1.2 Уравнение теплопроводности
- •4.2 ОБОБЩЕННАЯ ЗАДАЧА КОШИ
- •4.2.1 Постановка и решение обобщенной задачи Коши для волнового уравнения
- •4.2.2 Запаздывающие потенциалы
- •4.2.3 Формула Даламбера
- •4.2.4 Формулы Кирхгофа и Пуассона
- •4.2.5 Задачи Коши для уравнения теплопроводности
- •4.3 ФУНКЦИЯ ГРИНА КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА
- •4.3.1 Метод отражений
- •ДОПОЛНЕНИЯ
- •II ФРАКТАЛЬНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
- •III -ФУНКЦИЯ
- •СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
ДОПОЛНЕНИЯ
IФУНКЦИИ xλ+
В разделе 1.4 обсуждались функционалы P x1m , являющиеся регуляризациями целочисленных степенных особенностей. Здесь мы займемся регуляризациями особенностей несколь-
ко более общего вида, а именно, обсудим, какие функционалы отвечают функции
|
|
|
x+ = |
xλ, |
|
x > 0 , |
|
(Ä 1.1) |
||||
|
|
|
|
λ . |
|
0, |
x 6 0 |
|
|
|||
ãäå λ – некоторое, вообще говоря комплексное, число. |
|
|
||||||||||
Нетрудно видеть, ÷òî åñëè Reλ > −1, то функции (Ä 1.1) |
отвечает регулярный функ- |
|||||||||||
ционал: |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
x+, φ |
|
|
|
φ(x)dx , |
|
(Ä 1.2) |
||
|
|
|
|
|
= Z |
x |
|
|
||||
|
|
|
λ |
. |
|
|
λ |
|
|
|
||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||
где интеграл сходится. |
Заметим, что в полуплоскости Reλ > −1 сходится также и ин- |
|||||||||||
теграл |
∞xλ ln xφ(x)dx, |
представляющий из себя производную по λ от функционала x+λ . |
||||||||||
Таким |
R |
, |
|
|
|
|
φ |
|
|
|
x+ является регулярной функ- |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ |
|
образом для любой пробной функции |
|
функционал |
|
öèåé λ в полуплоскости Reλ > −1.
Рассмотрим теперь аналитическое продолжение этой регулярной функции в более широкую полуплоскость. Правую часть формулы (Ä 1.2) можно переписать как
1 |
∞ |
xλφ(x)dx + λ + 1 . |
|
Z0 |
xλ [φ(x) − φ(0)] dx + Z1 |
||
|
|
|
φ(0) |
В такой записи наш функционал, как функция λ, будет уже регулярен в полуплоскости
Reλ > −2, за исключением точки λ = −1, где он имеет (простой) полюс. Учитывая
∞
простую формулу −λ+11 = R xλdx, которая верна при Reλ < −1, в полосе −2 < Reλ < −1
1
мы можем также переписать формулу (Ä 1.2) â âèäå
∞
Z
xλ+, φ = xλ [φ(x) − φ(0)] dx .
0
Поступая аналогичным образом, мы можем продолжить функцию xλ+ в полосу −3 < Reλ < −2 и т.д. Формулой, осуществляющей аналитическое продолжение в полосу −n <
I
Reλ < −n + 1, будет следующая:
|
|
|
|
∞ |
|
φ(n−1)(0) |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x+λ |
, φ |
= Z |
xλ φ(x) − φ(0) − xφ0(0) − ... − xn−1 |
|
|
|
dx , |
(Ä 1.3) |
|||
(n |
− |
1)! |
|||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
а формулой, осуществляющей мероморфное продолжение в полуплоскость |
Reλ > −n, |
||||||||||
будет |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x+λ |
, φ |
= |
1 |
xλ φ(x) − φ(0) − xφ0(0) − ... − xn−1 φ(n−1)(0) |
dx + |
(Ä 1.4) |
|||||
Z |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n − 1)!
0
∞
Z
+xλφ(x)dx +
1
n |
φ(k−1)(0) |
|
||
X |
|
|||
|
− |
1)!(λ + k) . |
||
(k |
|
k=1
Утверждение Д 1.1. (xλ )0 |
= λxλ−1 |
, |
λ = |
1, |
− |
2, .... |
+ |
+ |
|
6 − |
|
|
Очевидно, эта формула верна в полуплоскости Reλ > 0, т.е. там (xλ+, φ) = −(λxλ+−1, φ0). Поскольку как левая, так и правая части последнего равенства аналитически продолжают-
ся на всю комплексную плоскость с выколотыми точками −1, −2, ..., то, в силу единственности аналитического продолжения, равенство будет справедливо и во всей плоскости , за исключением упомянутых точек.
Замечание Д 1.1. Выше мы не специфицировали пространство основных функций , над которым определяются функционалы xλ+. Из приведенных формул ясно, что в качестве такового может быть взято пространство S.
Пример Ä 1.1. Пусть φ0 S - пробная функция, совпадающая с e−x ïðè x > 0. Ïðè Reλ >
1 значение функционала xλ |
на такой пробной функции есть (xλ , φ ) = |
∞xλe−xdx = |
||||
(λ + 1) (ñì. дополнение III.) |
|
+ 0 |
|
R |
|
|
− |
+ |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание |
Д 1.2. В дополнении III показано, что функция (λ + 1) также является |
|||||
отношение |
x+λ |
|
λ = −1, −2, .... |
|
|
, |
мероморфной функцией с простыми полюсами в точках |
|
Таким образом |
|
|
|
является целой функцией параметра λ. |
|
|
||
|
(λ+1) |
|
|
|||
Совершенно аналогично функционалу xλ можно рассмотреть и функционал |
xλ |
, îòâå- |
||||
чающий функции |
+ |
|
− |
|
||
|
|
|
|
|||
|
|
λ . |
x λ, |
x < 0 |
|
|
|
|
x− = |
| 0|, |
x > 0 . |
|
|
Без обсуждения подробностей приведем формулу мероморфного продолжения этого функционала в полуплоскость Reλ > −n
|
|
|
1 |
xλ φ(−x) − φ(0) − (−x)φ0(0) − ... − (−x)n−1 |
φ(n−1)(0) |
dx + (Ä 1.5) |
||||||||
x−λ |
, φ |
= |
Z |
|||||||||||
(n |
− |
1)! |
||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
∞ |
|
n |
|
φ(k−1)(0) |
|
|
|
|
|||
|
|
|
Z |
xλφ(−x)dx + |
k=1 (−1)k |
|
|
|
|
|
||||
|
|
+ |
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||
|
|
(k |
− |
1)!(λ + k) |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1 |
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
II
Легко проверить, ÷òî:
x+λ + x−λ = |x|λ , x+λ − x−λ = |x|λsignx . |
(Ä 1.6) |
Функционалы (x ± i0)λ
Напомним, что функционалы (x ± i0)λ при целых λ были введены в параграфе 1.4.4 . Нашей задачей сейчас является определение этих функционалов при произвольных ком-
плексных λ.
Рассмотрим zλ как функцию комплексной переменной z = x + iy. Очевидно zλ = eλ ln z = eλ ln |z|+iλ arg z является многозначной функцией. Фиксируя е¼ главную ветвь, −π < arg z < π, приходим к однозначной аналитической функции на плоскости с разрезом −∞ < z < 0. Нас интересуют предельные значения этой функции на вещественной оси :
± |
|
y→±0 |
|
|
|
|
= |
||x||λ, |
x > 0 |
|
(x i0) |
λ |
= lim (x |
2 |
2 |
λ |
iλ arg(x+iy) |
|
e±iλπ x λ, |
x < 0 |
. |
|
|
+ y |
) 2 e |
|
|
|
|
Ñучетом формул (Ä 1.6) мы можем также написать (x ± i0)λ = xλ+ + e±iλπxλ−.
Âправой части этих равенств стоят уже известные нам функционалы , определенные
при всех комплексных λ, за исключением точек −1, −2, ... . Однако особенности функци-
оналов xλ+ è e±iλπxλ− в этих точках сокращаются в силу формул (Ä 1.4) è (Ä 1.5)! Таким образом, (x ± i0)λ – целые функции λ.
Пример Ä 1.2. Сосчитаем преобразование Фурье от xλ+. Прежде всего отметим, ÷òî e−εxxλ+
S0 |
x+λ |
, поэтому можно сначала вычислить преобразование Фурье от e−εxx+λ |
|
|||||||||||||
−−ε → |
и затем вы- |
|||||||||||||||
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
εx |
λ |
∞ λ iξx |
εx |
dx = |
ei 2 |
|
λ+1 |
|
||
|
|
|
|
|
. Имеем F [e− |
|
|
|
|
− |
π |
|
|
|||
|
|
|
|
|
x+] = |
|
x e |
|
|
× |
|
|||||
e |
i arg(ξ+iε) |
− |
i π |
|
0 |
ξ+iε |
|
|||||||||
|
|
2 |
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
полнить предельный переход |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞
× |
zλe−zdz (замена переменной z = |
− |
ix(ξ + iε)). Ïðè ε > 0 |
||||
0 |
|
|
|
e− |
z |
||
вания |
расположен в правой полуплоскости переменной |
z, |
в которой |
||||
R |
|
|
|
|
контур интегрирования можно продеформировать в вещественную ось , теграл дает (λ + 1). Таким образом,
контур интегриро-
убывает. Поэтому получившийся ин-
F [xλ+] = ei π2 (λ+1) (λ + 1) lim(ξ + iε)−λ−1 = ei π2 (λ+1) (λ + 1) (ξ + i0)−λ−1 .
ε→0
II ФРАКТАЛЬНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
Для понимания изложенного в данном дополнении необходимо знакомство с материалом дополнений I è III.
Под ”фрактальными” операциями интегрирования и дифференцирования понимают обобщения соответствующих классических понятий , которые в каком-то смысле можно трактовать как интегрирования и дифференцирования дробных (и даже комплексных) порядков. С целью подойти к таким обобщениям, начнем с известной формулы Коши,
выражающей решение дифференциального уравнения y(n+1)(x) = φ(x) с нулевыми на- чальными данными в виде однократного интеграла
|
x |
|
x |
tnφ(x − t)dt , n > 1 . |
(Ä 2.7) |
y(x) = n! Z0 |
(x − t)nφ(t)dt = n! Z0 |
||||
1 |
|
1 |
|
|
|
III
Будем в дальнейшем считать, ÷òî φ(x) ≡ 0 при отрицательных x, ò.å. supp φ [0, ∞).
Тогда правая часть этой формулы записывается в виде свертки |
Jn φ = |
|
∞ |
|||||||
. |
tn |
|
|
|
|
|
0 Jn(x − |
|||
t)φ(t)dt, где обозначено Jn(t) = |
|
|
|
результат можно сформулировать |
||||||
n! . Наконец, ýòîò æå |
||||||||||
|
n+1 |
) |
|
R |
|
|||||
как действие интегрального оператора (обозначаемого как I |
|
с ядром Jn(x − t) íà |
||||||||
функцию φ: |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
In+1 : φ 7→y = Z0 |
Jn(x − t)φ(t)dt . |
|
|
|
|
|
Операторы In обладают следующим свойством, которое позволяет трактовать верхний значок как возведение в степень:
Утверждение Д 2.2. Композиция In ◦Im действует также, êàê In+m, ò.å. In (Imφ) =
Im (Inφ) = In+mφ.
In (Imφ) = |
∞ |
J |
n−1(x |
− |
s)ds ∞ |
m−1 |
(s |
− |
t)φ(t)dt = |
|
|
||||||||||||||||
|
Z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Z0 |
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x |
|
(n |
|
1)! |
|
|
|
s |
(m |
|
1)! |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Z |
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= |
|
|
(x − s)n−1 |
ds |
|
|
|
(s |
− t)m−1 |
φ(t)dt = |
|
|
|||||||||||||||
|
0x |
|
|
|
− |
|
|
x |
|
0 |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Z |
|
|
|
|
Z |
(n− |
1)! |
|
(m 1)! |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= |
|
φ(t)dt |
|
|
|
(x |
|
s)n−1 (s |
− t)m−1 |
ds |
|
. |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
(x−s)n+m−2 |
|
(x−t)n+m−1 |
|
|||
Интегрирование внутреннего интеграла |
|
|
|
|
раз по частям дает |
|
|
||||||||||||||||||||
что и доказывает утверждение. |
|
|
|
m−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rt |
(n+m−2)! ds = |
(n+m−1)! , |
Ò.ê. n! = (n + 1), то действие оператора In+1 íà φ(t) (с учетом оговорок, сделанных
относительно φ) можно понимать как значение функционала |
(x−t)+n |
|
|
(n+1) на таких пробных |
|||
|
функциях φ(t) (значения функционала само является функцией от x). Но было показано
|
|
xλ |
|
|
(ñì. замечание Ä 1.2), что функционалы |
|
+ |
|
λ (ò.å. |
(λ+1) являются целыми функциями |
действие этих функционалов на любую пробную функцию есть целая функция от λ). Таким образом, формула n + 1-кратного интегрирования (Ä 2.7) распространяется на любые комплексные значения ”n”!
Èòàê, мы пришли к следующему определению:
Определение Д 2.1. Интегралом ( |
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
λ 1 |
|
λ |
|
φ(t), |
supp φ |
||||||
|
|
|
|
|
комплексного |
|
порядка |
|
функции |
|
|
|
|
||||||||
[0, ∞), |
|
|
|
|
|
|
|
λ . |
(x |
− |
t) |
− |
|
|
|
|
|
|
|
||
называется действие функционала |
I |
|
|
|
+ |
на эту функцию; |
ïðè |
Reλ > |
|||||||||||||
|
|
(λ) |
|||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
φ(t)dt. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 Iλ, φ(t) = (λ) (x − t)λ−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из сравнения с формулой (Ä 2.7) |
видно, |
что при натуральных λ это определение |
совпадает с обычным интегрированием. Отдельно рассмотрим ”интегрирование” порядка
λ = 0.
|
2.3. |
λ→0 |
|
(x t)λ−1 |
|
|
|
(λ) |
|||||
Утверждение Д |
|
lim |
|
− |
+ |
, φ(t) = φ(x) |
|
|
|
|
IV
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x t)λ−1 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
(λ) = |
|
λ |
|
≈ |
λ |
ïðè λ → 0. |
|
|
|
|
|
|
≈ |
0 |
λ(x − |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(λ) , φ |
||||||||||||||||||||
|
Используем формулу |
|
|
(λ+1) |
|
1 |
|
|
|
|
Поэтому |
− |
+ |
|
|
|
R |
|
|
|||||||||||
t)λ−1φ(t)dt = φ(x)xλ + λ(x − t)λ−1 [φ(t) − φ(x)] dt λ→0 φ(x) . |
|
|
|
|
|
|
I− |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
Объединяя |
|
R |
|
|
2.2 |
|
|
|
2.3 |
|
→ |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ является |
||||
|
|
|
утверждения Ä |
|
|
è Ä |
|
|
можно сказать |
|
что оператор |
|
||||||||||||||||||
обратным к Iλ. Поэтому естественно следующее |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Определение Д |
2.2. |
Производной |
(комплексного) |
порядка |
λ |
функции |
φ(t), supp φ |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ |
− |
1 |
|
|
|
||||||||||||||
[0, ∞), |
называется действие функционала |
D |
λ . |
λ . |
|
(x−t)+− |
|
на эту функцию. |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= I− |
= |
|
|
(−λ) |
|
|
|
|
Очевидно, так определенное дифференцирование является линейной операцией , при натуральных λ совпадающей с обычным дифференцированием, а при λ = 0 являющейся тождественным преобразованием. Отметим некоторые дополнительные свойства , которые проверяются, исходя из данных определений (мы не будем далее различать в обозначениях аргумент функции φ(x) и аргумент е¼ фрактальной производной).
Утверждение Д 2.4. 1) Вычисление Dλφ (x0) является нелокальной операцией, т.е. зависит от значений φ(x) во всех точках, а не только от значений в точках, близких к x0;
2)Åñëè φ(x) ≡ 0 ïðè x < x0, òî è Dλφ (x) ≡ 0 ïðè x < x0 (так называемый принцип причинности);
3)Dλφ(γx) = γλ Dλφ(x) (γx);
4)F [ Dλφ (x)] = (−iξ)λF [φ(x)]
Замечание Ä 2.3. Последнее свойство позволяет также в многомерном
операции частного фрактального дифференцирования êàê: Dλ φ(~x)
xj
ãäå ïîä F −1 понимается обратное многомерное преобразование Фурье
случае определить
−1 − λ ~
= F [( iξj) φe(ξ)],
.
Пример Ä 2.3. Фрактальное затухание
Рассмотрим ”дифференциальное” уравнение Dλy + pλy = f(x) при вещественных 0 < λ 6 1, p – постоянная. Если известно фундаментальное решение E(x), то y = E f, поэтому достаточно найти E(x).
Фундаментальное решение удовлетворяет уравнению DλE + pλE = δ(x), применив к
обеим частям которого операцию Iλ, получим E + pλIλE = (1λ) xλ+−1.
∞
Решения последнего уравнения можно искать в виде ряда E(x) = P pnλEn(x), â êîòî-
n=0
ðîì En(x) удовлетворяют рекуррентным соотношениям
E0(x) = (1λ)xλ+−1 ,
Последовательно применяя оператор −Iλ, çîì,
E(x) = (1λ)xλ+−1R (px)λ, λ
En(x) = −IλEn−1(x) .
находим |
En(x) = |
(−1)n |
nλ+λ−1 |
. |
|
|
(nλ+λ) x+ |
||||
, R(µ, λ) = |
∞ |
(−1)n |
µn . |
|
|
|
|
X |
|
|
|
(nλ + λ)
n=0
Таким обра-
(Ä 2.8)
Функция R(µ, λ) в (Ä 2.8) называется функцией Миттаг-Лефлера. Нетрудно видеть, что при λ = 1 R(µ, 1) = exp(−µ), и E(x) совпадает с ”классическим” фундаментальным решением. Поэтому функцию Миттаг-Лефлера можно назвать ”фрактальной экспонентой”. При λ 6= 1 функция R(µ, λ) íå выражается через элементарные функции, однако
V