- •1 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
- •1.1 Однозначные регулярные функции
- •1.1.1 Комплексные числа
- •1.1.4 Интеграл по контуру на комплексной плоскости
- •1.1.5 Ряд Лорана. Особые точки функции
- •1.1.6 Вычеты и их применение
- •1.1.7 Принцип аргумента. Теорема Руше
- •1.2 Многозначные аналитические функции
- •1.2.1 Регулярные ветви
- •1.2.2 Римановы поверхности
- •1.2.3 Интегралы от многозначных функций
- •1.3 Конформные отображения
- •1.3.1 Дробно-линейная функция
- •1.3.3 Функция Жуковского
- •1.3.5 Интеграл Кристоффеля-Шварца
- •1.3.6 Применение конформных отображений в электростатике
- •2 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
- •2.1 Пространство K основных функций
- •2.2 Пространство S основных функций
- •2.3 Регулярные и сингулярные обобщённые функции
- •2.4 Действия с обобщёнными функциями
- •2.5 Локальное поведение обобщённых функций
- •2.6 Основные и обобщённые функции многих переменных
- •2.8 Свёртка
- •2.9.1 Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •2.9.2 Уравнения с частными производными
- •2.10 Фундаментальные решения
- •2.11 Преобразование Фурье
- •2.11.1 Дополнение
- •3 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
- •3.1 Классификация уравнений 2-го порядка
- •3.2.1 Две независимых переменных
- •3.3 Три или четыре независимых переменных
- •3.4 Метод Даламбера для уравнения колебаний струны
- •3.4.1 Неограниченная струна
- •3.4.2 Ограниченная струна
- •3.5 Метод разделения переменных. Специальные функции
- •3.5.1 Цилиндpические функции
- •3.5.2 Сфеpические функции
- •4 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
- •4.1 Понятие асимптотического разложения
- •4.1.1 О-символика. Асимптотическая последовательность
- •4.1.2 Асимптотическое разложение функции
- •4.2 Асимптотика интегралов типа Лапласа
- •4.2.1 Монотонная фазовая функция
- •4.3 Асимптотика интегралов типа Фурье
- •4.3.1 Монотонная фазовая функция
- •4.3.2 Немонотонная фазовая функция
- •4.4 Асимптотика кратных интегралов типа Фурье
- •4.5 Метод перевала
- •5 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ
- •5.1 Построение решений с помощью рядов
- •5.1.1 Неособые точки уравнения
- •5.1.2 Регулярная особая точка уравнения
в) Написать решение задачи о вынужденных колебаниях неограниченной струны при начальных данных ( )
Указания. (а) Построить свёртку фундаментального решения (см. задачу 4.81) и функции F (x, t).
(в) К решению задачи (а) добавить свободные колебания.
3.4.2Ограниченная струна
5.51.Найти решение задачи о колебаниях полубесконечной струны, закреплённой на конце: utt = a2uxx, u(x, 0) = φ(x), ut(x, 0) = 0, u(0, t) = 0.
Указание. Воспользоваться формулой Даламбера (задача 5.49).
5.52. Найти решение задачи о колебаниях ограниченной струны, закреплённой на обоих концах: u(0, t) = u(l, t) = 0.
3.5 Метод разделения переменных. Специальные функции
3.5.1 Цилиндpические функции
Решения дифференциального уравнения Бесселя
w00(x) + xw0 |
(x) + 1 − x2 ! w(x) = 0 |
||
1 |
|
|
ν2 |
называются цилиндрическими, или бесселевыми функциями. Здесь x – вещественная или комплексная переменная, ν – вещественный или комплексный параметр.
Примечание. Уравнение Бесселя имеет особую точку x = 0; особые точки обыкновенных линейных дифференциальных уравнений изучаются в главе "Дифференциальные уравнения в комплексной плоскости".
Стандартные решения уравнения Бесселя:
1)Jν(x) – функция Бесселя с индексом ν;
2)Nν(x) – функция Неймана с индексом ν;
3)Hν(1)(x) и Hν(2)(x) – функции Ханкеля 1-го и 2-го рода, соответственно, с индексом ν. Функции Jν(x), Nν(x), Hν(1)(x) и Hν(2)(x) попарно линейно независимы. При ν ≥ 0 функция Jν(x)
ограничена, когда x → +0, остальные цилиндрические функции имеют при этом бесконечный предел. При вещественных положительных значениях x и ν функции Бесселя и Неймана вещественны.
Имеют место формулы: |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
1)k |
x |
2k+ν |
||||||||||||
|
|
|
Jν(x) = k=0 k! (k−+ ν + 1) |
2 |
|
, |
||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Nν(x) = |
[Jν(x) cos πν |
− J−ν(x)], |
|
|
ν 6= 0, ±1, ±2, ... |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
sin πν |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
Hν(1)(x) = Jν(x) + i Nν(x), |
Hν(2)(x) = Jν(x) − i Nν(x), |
||||||||||||||||||||||
|
J1/2(x) = r |
|
|
|
sin x, |
|
N1/2(x) = −r |
|
|
|
cos x, |
|||||||||||||
|
|
πx |
|
πx |
||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||
|
H1/2(x) = −ir |
|
|
|
eix; H1/2(x) = ir |
|
|
e−ix, |
||||||||||||||||
|
|
πx |
πx |
|||||||||||||||||||||
|
(1) |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
(2) |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||
|
x−ν(xνJν(x))0 = Jν−1(x), |
|
xν(x−νJν(x))0 = −Jν+1(x), |
|||||||||||||||||||||
0 |
− |
(xJ1(x))0 = xJ0(x). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
в частности, J0 (x) = |
J1(x), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
70
Асимптотика цилиндрических функций при ν > 0, x → +∞: |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
πν |
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
||||
Jν(x) = r |
|
2 |
|
cos |
x − |
|
− |
+ O(x−1) , |
|||||||||||||||||||||||||||
πx |
|
|
2 |
|
4 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
πν |
|
|
π |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
sin |
|
x − |
− |
+ O(x−1) |
, |
|
|
|||||||||||||||||||
Nν(x) = rπx |
|
|
2 |
|
4 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
πν |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Hν(1)(x) = r |
|
|
ei(x− |
|
2 − |
4 )[1 + O(x−1)], |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
πx |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Hν(2)(x) = r |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
πν |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
e−i(x− |
|
2 − 4 )[1 + O(x−1)]. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
πx |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах r, φ, z: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
∂2u 1 ∂u 1 ∂2u ∂ |
2u |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
= 0. |
|
|
|
|||||
|
∂r2 |
r ∂r |
r2 ∂φ2 |
|
∂z2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Переменные разделяются: пусть u = R(r) Φ (φ)Z(z), тогда |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
R00 |
+ |
R0 |
|
+ |
Φ 00 |
+ |
Z00 |
|
= 0. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
rR |
|
Z |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
r2 Φ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Отсюда получаем три уравнения: Z00 |
= λ2Z, |
|
Φ 00 = −ν2 Φ , R00 + 1r Rλz0 + λ2 − |
ν2 |
R = 0, где λ, ν |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
r2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
– постоянные. Первое уравнение (при λ = 0) имеет решения вида e± |
, второе (при ν = 0) – ви- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
да cos νφ, sin νφ, а третье уравнение пpевpащается в уравнение Бесселя при замене масштаба: если r = λx, то ddx2R2 + x1 dRdx + (1 − xν22 )R = 0. Таким образом, R(r) = ζν(λr), где ζν(x) – какая-нибудь цилиндрическая функция. В частном случае, когда u не зависит от φ, получается уравнение Бесселя с
индексом ν = 0.
Задача Штурма-Лиувилля для уравнения Бесселя
|
1 |
|
ν2 |
! R = 0, ν ≥ 0, |
||
R00 |
+ |
|
R0 + λ2 |
− |
|
|
r |
r2 |
на промежутке 0 < r < a заключается в нахождении таких значений λn параметра λ, при которых существуют собственные функции, т.е. нетривиальные (не равные тождественно нулю) решения Rn(r) уравнения, ограниченные при r → 0 и удовлетворяющие при r = a граничному условию вида αRn + βRn0 = 0. Поскольку среди всех решений уравнения только функция Бесселя Jν(λr) ограничена в нуле, то собственные функции имеют вид Rn(r) = AnJν(λnr), а собственные числа λn находятся из уравнения αJν(λa) + β dad Jn(λa) = 0. Собственные числа вещественны, собственные функции ортогональны на промежутке [0, a] с весом r. В случае простейшего граничного условия R(a) = 0, нормировка Rn(r) имеет вид
a |
|
a2 |
d |
||
Z |
|
||||
rJν2(λnr) dr = |
|
[Jν0 (λna)]2, Jν0 (x) = |
|
Jν(x). |
|
2 |
dx |
||||
0 |
|
|
|
|
|
5.53. На боковой поверхности кругового цилиндра 0 ≤ r ≤ a, 0 ≤ z ≤ h температура pавна нулю, на нижнем основании задана температура f(r), на верхнем основании температура g(r). Найти температуру u(r, z) внутри цилиндра.
Указание. В соответствии с физическим смыслом задачи, для радиального множителя R(r) следует выбрать то решение уравнения Бесселя, которое ограничено в центре пластинки, то-есть R = J0(λr). Равенство
71
J0(λa) = 0 – это уравнение для собственных значений, оно имеет счётное множество корней λn = ξn/a, где ξn – положительные нули функции Бесселя J0(ξ), 0 < ξ1 < ξ2 < ξ3 < ..., причем ξn → +∞ при n → ∞. Собственные функции: Rn(r) = J0(λnr).
5.54. На боковой поверхности кругового цилиндра 0 ≤ r ≤ a, 0 ≤ z ≤ h задано распределение температуры u(a, z) = F (z), на обоих основаниях цилиндра температура нулевая. Найти распределение температуры u(r, z) внутри цилиндра.
Указание. Следует искать решение в виде ряда по собственным функциям Zn(z) = sin λnz, λn = nπh ; радиальные множители будут вида Rn(r) = AnJ0(irλn) (вещественные функции!).
5.55. На краю r = b круглой теплопроводящей пластинки 0 ≤ r ≤ b поддерживается нулевая температура, в начальный момент времени t = 0 температура u(r, 0) = f(r). Найти температуру u(r, t) пластинки при t > 0.
Указание: см. задачу 5.53.
5.56.Внутренняя окружность плоской кольцеобразной пластинки a ≤ r ≤ b теплоизолирована, т.е.
ur|r=a = 0, на внешней окружности r = b температура нулевая. В начальный момент u(r, 0) = f(r). Уравнение теплопроводности: ut = u. Найти температуру u(r, t) пластинки при t > 0.
5.57.Построить решение u(r, t) задачи о симметричных колебаниях круглой мембраны 0 ≤ r ≤ b при условии, что край неподвижно закреплен, а в начальный момент мембрана имела смещение u = f(r) и нулевую скорость.
5.58.На краю r = b круглой теплопроводящей пластинки 0 ≤ r ≤ b поддерживается нулевая температура, в начальный момент времени температура u(r, φ, 0) = f(r, φ). Уравнение теплопроводности: ut = u. Найти температуру u(r, φ, t) пластинки при t > 0.
5.59.На круглую мембрану, закреплённую по краю, действует внешняя гармоническая сила, непрерывно распределённая по всей площади мембраны. Смещения мембраны удовлетворяют уравнению
utt = a2 u + A sin ωt. Доказать, что вынужденные колебания мембраны выражаются формулой
u = A sin ωt J0(ωr/a) − 1 , ω2 J0(ωb/a)
где b – радиус мембраны.
Указание. Решение имеет вид произведения R(r) sin ωt.
3.5.2 Сфеpические функции
Уравнение Лапласа в сферических координатах r, θ, φ:
∂r2 + r ∂r + r2 |
∂θ2 |
+ ctg θ ∂θ ! |
+ r2 sin2 |
θ ∂φ2 = 0. |
|||
∂2u 2 ∂u 1 ∂2u |
|
∂u |
1 |
|
|
∂2u |
1. Случай осевой симметрии: u(r, θ).
Переменные разделяются: u = R(r) Θ (θ), получаются два уравнения:
R00 + 2r R0 − λR = 0, Θ 00 + ctg θ Θ 0 + λ Θ = 0.
Удобно перейти к новой независимой переменной x = cos θ, при этом второе уравнение преобразуется к виду (1 −x2)dxd22 Θ −2xdxd Θ + λ Θ = 0. Это уравнение, называемое уравнением Лежандра, имеет две особые точки: x = −1 и x = +1. Решения, ограниченные при x = −1 и x = 1, существуют только для значений параметра λ, равных n(n + 1), где n = 0, 1, 2, ... Такие решения представляют собой
полиномы Лежандра:
|
1 dn |
Pn(x) = |
2nn! dxn (x2 − 1)n. |
72
Полиномы Лежандра ортогональны на промежутке [−1, 1]:
1 |
|
2 |
|
|
Z |
Pk(x)Pn(x) dx = |
δkn. |
||
|
||||
2n + 1 |
||||
−1 |
|
|
|
Все нули полинома степени n вещественные, простые, и все они лежат внутри промежутка (−1, 1). Система полиномов Лежандра замкнута в классе непрерывных функций.
Уравнение R00 + 2r R0 − n(n + 1)R = 0 имеет общее решение Arn + Br−n−1.
5.60. Найти электростатический потенциал u(r, θ) внутри шара 0 ≤ r ≤ a, если на сфере r = a потенциал u = f(θ). В частности, рассмотреть случай f = 1 + cos θ.
Указание. Радиальный множитель R(r) должен быть ограничен во всём шаре, отсюда B = 0.
5.61. Найти электростатический потенциал u(r, θ) вне сферы r = a, т.е. при r > a, если на сфере r = a потенциал u = f(θ). В частности, рассмотреть случай f = 1 + cos θ.
Указание. Радиальный множитель R(r) должен cтремиться к нулю при r → ∞, отсюда A = 0.
5.62. На поверхности r = a теплопроводящего шара поддерживается нулевая температура, внутри шара имеется распределённый источник тепла с мощностью F (r, θ) = r(1 + 3 cos 2θ). Найти температуру u(r, θ) внутри шара.
Указание. Процесс описывается уравнением urr + 2r ur + r12 (uθθ + ctg θ uθ) = F (r, θ). Функция F (r, θ) равна
4rP2(cos θ).
5.63. Теплопроводящая плёнка имеет форму сферы r = b. В начальный момент времени температура плёнки была равна u(0, θ) = f(θ). Найти температуру u(t, θ) при t > 0.
Указание. Процесс описывается уравнением теплопроводности ut = a2 u, где r ≡ b, u = b12 (uθθ + ctg θ uθ).
5.64. Шар 0 ≤ r ≤ b заполнен теплопроводящим веществом, на поверхности шара поддерживается нулевая температура. В начальный момент времени температура в шаре равна f(r, θ). Найти температуру u(r, θ, t) в шаре при t > 0. Рассмотреть также частный случай: f(r, θ) = g(r) cos θ.
Указание. Процесс описывается уравнением ut = urr + 2 ur + |
1 |
(uθθ + ctg θ uθ). Отделив угловую пере- |
|||||||
2 |
|||||||||
|
|
r |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
n(n+1) |
|
|
менную, для радиального множителя R(r) получаем уравнение вида R00 + r R0 + |
|
µ2 |
|
|
R = 0, которое |
||||
|
|
r2 |
|||||||
заменой R = v(r)/√ |
|
сводится к уравнению Бесселя с полуцелым индексом. |
h |
|
− |
|
i |
||
r |
|
|
5.65. На внутренней поверхности r = a шарового слоя a ≤ r ≤ b потенциал u равен V0, на внешней поверхности r = b потенциал u = f(θ). Найти потенциал u(r, θ) внутри слоя.
2. Общий случай: u(r, θ, φ).
Переменные разделяются: пусть u = R(r) Θ (θ) Φ (φ), тогда получаются три уравнения:
|
|
µ |
|
|
2 |
|
||
Φ 00 + µ Φ = 0, Θ 00 |
+ ctg θ Θ 0 |
+ λ − |
|
Θ = 0, |
R00 |
+ |
|
R0 − λR = 0. |
sin2 θ |
r |
Первое уравнение имеет 2π-периодические решения при µ = m2, где m = 0, 1, 2, ... Второе уравнение после замены x = cos θ приобретает вид присоединенного уравнения Лежандра:
(1 − x2)dx2 |
Θ − 2xdx Θ + λ − |
1 − x2 ! |
Θ = 0. |
||
|
d2 |
|
d |
m2 |
|
Решения, ограниченные при x = −1 и x = 1, существуют только при значениях параметра λ, равных n(n+1), где n = 0, 1, 2, ... Такие решения представляют собой присоединенные функции Лежандра:
m dm |
|
Pn(m)(x) = (1 − x2) 2 |
dxm Pn(x), m = 0, 1, ..., n. |
73
Присоединённые функции Лежандра ортогональны на промежутке [−1, 1]: если k 6= n, то
1
Z
Pk(m)(x)Pn(m)(x) dx = 0.
−1
Нормировка присоединённых функций Лежандра:
|
1 |
2 (n + m)! |
||||||
Z [Pn(m)(x)]2 dx = |
||||||||
|
· |
|
|
|
. |
|||
2n + 1 |
(n |
− |
m)! |
|||||
− |
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
5.66.Для значений n = 0, 1, 2 выписать присоединённые функции Лежандра, как функции от cos θ
иsin θ.
5.67.Найти функцию, гармоническую в шаре x2 + y2 + z2 ≤ a2, если на поверхности заданы её значения: u|r=a = f(θ, φ). Рассмотреть также частный случай: f = sin 2θ cos φ.
Указание. В данном частном случае ряд состоит из одного слагаемого: n = 2, m = 1.
5.68.Найти функцию, гармоническую вне сферы x2 + y2 + z2 = a2, если на сфере заданы значения этой функции: u|r=a = f(θ, φ). Рассмотреть также частный случай f = sin 2θ cos φ.
5.69.Теплопроводящая плёнка имеет форму сферы r = b. В начальный момент времени температура плёнки была равна u(0, θ, φ) = f(θ, φ). Найти температуру плёнки u(t, θ, φ) при t > 0.
Указание. Процесс описывается уравнением теплопроводности ut = a2 u, где r ≡ b, u = |
1 |
uθθ + ctg θ uθ + |
1 |
u |
b2 |
sin2 θ |
Ответы.
5.1.Гиперболический тип. Канонический вид: uξξ − uηη + cu = f. Ортогональная замена перемен-
√√
ных: x = (ξ − η)/ 2, y = (ξ + η)/ 2.
5.2. Эллиптический тип. Треугольная замена переменных: x = ξ, y = −ξ + η, z = 2ξ − 2η + ζ, преобразованный вид:
uξξ + uηη + uζζ + uξ + uη = f.
Канонический вид: vξξ + vηη + vζζ − 0, 5 v = e(ξ+η)/2f, где u = e−(ξ+η)/2v.
5.3. Гиперболический тип. Канонический вид: 2uξξ − uηη − uζζ = 0.
Ортогональная замена переменных:
|
ξ |
|
η |
ζ |
|
|
|
|
ξ |
|
|
|
η |
|
|
|
|
|
ζ |
|
|
|
|
|
|
|
ξ |
|
|
|
|
|
|
|
|
2η |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
x = |
√ |
|
|
+ |
√ |
|
|
+ |
√ |
|
, |
y = |
√ |
|
|
+ |
√ |
|
|
− |
√ |
|
, |
z = |
√ |
|
− |
√ |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
3 |
6 |
2 |
3 |
6 |
2 |
3 |
6 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.4. Параболический тип. Ортогональная замена переменных: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2ξ |
|
|
|
|
η |
|
|
|
|
ξ |
η |
|
ζ |
|
|
|
|
|
ξ |
|
η |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ζ |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
x = − |
√ |
|
+ |
√ |
|
, |
|
y = |
√ |
|
+ |
√ |
|
+ |
√ |
|
|
, |
|
z = |
√ |
|
|
+ |
√ |
|
|
− |
√ |
|
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
6 |
3 |
|
6 |
3 |
2 |
|
6 |
3 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Преобразованное уравнение: 6uξξ + 3uηη − |
√ |
|
uξ |
+ |
|
|
√ |
|
|
uη |
= 0. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 |
|
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6vξξ + 3vηη − |
1 |
|
v = 0, где u = e |
√ |
|
|
√ |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Канонический вид: |
|
|
|
6(ξ− 2η)/36v. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
18 |
|
|
5.5. Для уравнения Шрёдингера данная классификация неприменима, так как имеется невещественный коффициент.
Замечание: по свойствам решений это уравнение отчасти сходно с гиперболическим (допускает распространение волн), отчасти сходно с параболическим (т.н. "расплывание волновых пакетов").
5.9. a) u = e−t sin x; |
б) u = |
|
9 |
∞ |
|
|
|
1 |
e−(2l+1)2t sin(2l + 1)x. |
||||||
|
|
2 |
− |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
− |
π |
lP |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
=0 (4l |
|
|
1)(2l+3) |
|
|
|
|||
5.10. u = |
8 |
∞ |
1 |
|
e−(2l+1)2 |
π2t sin(2l + 1)πx; u |
|
0 при t + . |
|||||||
3 |
|
3 |
|
||||||||||||
π |
lP |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
→ ∞ |
|
=0 (2l+1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
74
5.11. u = |
|
8 |
∞ |
(−1)n |
2 |
e−(n+0,5)2π2t sin(n + 0, 5)πx. |
|
||||||||
2 |
|
||||||||||||||
|
π |
|
nP |
(2n+1) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.12. u = |
1 |
|
4 |
|
∞ |
1 |
e−(2l+1) |
2 |
2 |
t cos(2l + 1)πx; u → 1/2 |
при t → +∞. |
||||
2 |
− |
|
|
=0 |
|
|
π |
||||||||
π2 |
(2l+1)2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
lP |
|
|
|
|
|
|
|
5.13. Собственные функции: Xn(x) = cos λnx, где числа λn – это корни уравнения λ = ctg λπ,
0 < λ1 < λ2 < ..., причем nlim λn = ∞; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
температура: |
|
|
u = |
|
|
|
|
4(1−cos λnπ) |
|
|
|
λn2 t |
cos λnx. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2πλ2 |
+cos λ π e− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nP |
|
|
|
(−1) |
n |
|
1 − e− |
4n2t |
|
|
|
|
2 |
t sin nx. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 ∞ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.14. а) u = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−n5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
− 4n |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8π n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
б) u = e−4t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
sin x + ua(x, t), где ua(x, t) – решение из (а). |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.15. u = te−t sin x. |
|
|
|
|
|
5.16. v(x, t) = 1 + (t |
− |
1)x, |
|
u = v(x, t)+ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 ∞ |
1 |
|
|
2 |
π |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
π n=1 hn e−n |
|
t + (−1)n n3π3 (1 |
− e−n π |
t)i sin πnx. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.17. u = x + t. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.18. a) u = cos at · sin x; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
б) u = |
4γ |
|
∞ ( |
− |
1)k sin (2k+1) |
sin (2k + 1)at |
· sin (2k + 1)x. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
πa |
=0 |
|
|
|
|
|
|
(2k+1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.19. u = |
kP |
|
|
|
|
∞ (−1) |
n+1 |
sin (πnat) · sin (πnx); |
u = u1(x − at) + u2(x + at), |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
aπ2 |
|
|
|
|
=1 |
|
1 |
n2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nP |
|
|
|
∞ ( |
− |
1)n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
где u1(x − at) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos πn (x |
− at), |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
aπ2 |
|
=1 |
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
nP |
|
|
|
|
n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
u2(x + at) = − |
|
|
|
|
|
∞ (−1) |
|
|
|
|
|
|
cos πn (x + at). |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
aπ2 |
|
|
|
=1 |
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0,8 |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
nPk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(−1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
5.20. u = |
|
π2 |
|
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
cos [(k + |
2 )πat] · sin [(k + 2 )πx]. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(2k+1)2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
kP |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5.21. u = 1 + cos 2πat · cos 2πx = 1 + [cos 2π(x − at) + cos 2π(x + at)]/2. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.22. u = |
2 |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos λnπ |
|
|
|
|
|
|
|
sin λnat |
· cos λnx, где λn = ξn/π, ξn – положительные корни |
||||||||||||||||||||||||||||||||
a n=1 |
λn(πβλn2 +cos2 λnπ) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ctg ξ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
βξ = πP |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
5.23. u = |
|
t |
|
∞ sin(2k+1)x |
− |
|
|
1 |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
sin 2(2k + 1)t · sin(2k + 1)x. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=0 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n3 |
|
|
|
|
2π |
(2k+1)4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
kP |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
4Q ∞ (2k+1) sin t |
sin(2k+1)t |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
2Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
5.24. u = |
|
π (sin t − t cos t) sin x + |
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
sin(2k + 1)x. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
2k(2k+1)(2k+2) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.25. u = u1 + u2, u1 = sin t |
∞ |
|
|
|
|
|
|
kP |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
=1 qn(n |
|
|
− 1) sin nx − 2 cos t n=1 qn sin nx, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nP |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
||||||||
u2 = e− t n=1 qn[2 cos µnt + (2 2 − n2 + 1) sin µnt] sin nx, |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, n = 2k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
qn = |
|
|
|
4Qαn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, αn = 1, n = 2k + 1, µn = √n2 − 2. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
πn[(n2−1)2+4 2] |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.26. u = x + t + |
16 |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
· [1 |
− cos(n + 1/2)πt] · sin(n + 1/2)πx. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
π3 |
|
|
|
=0 |
(2n+1)3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ 1 |
|
nP |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c+ |
|||||||||||||||
5.27. u = |
|
2K |
|
|
|
sin nπc sin nπx sin nπat |
, где K/ρ = lim |
F (x) dx – импульс силы F (x) удара |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
aπρ n=1 n |
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→0c− |
|||||||||||||||||||||
молоточка о струну. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
5.28. Период T определяется из уравнения a1 tg 2πl1 |
+ a2 2πl2 |
= 0. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T a1 |
|
T a2 |
|
||
5.30. u = |
32 |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sh (k + 0, 5)πy · sin(k + 0, 5)πx. |
||||||||||||||||||||||||||||||
π3 |
|
|
|
|
=0 |
(2k+1)3 sh (k+0,5)π |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
kP |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
5.31. u = 2 |
∞ |
(−1) 4−λn |
sh λ |
n |
y |
· |
cos λ |
n |
x, λ |
n |
= (2n + 1)π/4. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
λn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
nP |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
75
5.32. u = |
∞ |
(An ch λnx + Bn sh λnx) sin λny, |
λn = (n + 0, 5)π, |
|||||||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
( |
|
n2 |
|
|
|
|
n 2(2 |
ch λn) |
|
|
|
||
|
|
|
1) P |
|
|
|
|
|
|
|||||||
A |
n |
= |
|
− 2 |
|
, |
B |
n |
= ( 1) |
|
|
2− |
|
. |
|
|
|
|
|
λn |
|
|
− |
|
λn sh λn |
|
|
|
|||||
5.33. u = |
ab2 |
|
∞ |
(−1)m+n+1 |
sin mπx sin nπy , λm,n = (m22 |
+ n22 )π2. |
||||||||||
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
mnλm,n |
|
|
a |
b |
a |
b |
|
|
|
|
|
|
|
m,n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
5.34. u = y + (1 − y)x.
|
|
|
|
2 |
|
∞ |
sin nφ |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
5.35. u = π n=1 |
1−(a/b)n |
[(r/b) |
|
− (a/r) |
|
] |
0 |
f(ξ) sin nξ dξ. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
4 ∞ cos(2k+1)φ |
r |
|
2k+1 |
|
||||||||
5.36. u = (r/b)2 sin 2φ. |
|
|
5.37. u = |
|
− |
|
|
|
b |
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
π k=0 |
(2k+1)2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
5.38. u = 21π |
|
2π |
|
|
|
|
|
∞ |
ar |
|
n |
· [cos nφ |
2Pπ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
f(ξ) dξ + π1 |
|
|
|
f(ξ) cos nξ dξ+ |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
2π |
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
R |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
f(ξ) sin nξ dξ]. |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
sin nφ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
∞ |
|
1 |
|
R |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5.39. u = π n=1 |
sh (nπ2) |
|
0 |
g(e ) sin(nπt) dt · sin(nπφ) sin(nπ ln r). |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
∞ |
|
|
|
|
a b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mπx |
|
|
nπy |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
5.40. а) |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2,1 |
|
|
|
|
|
|
sin |
b , |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
u = ab m,n=1 e−λm,nγ t |
0 0 |
f(x, y) dxdy! · sin |
a |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
λm,n = π [(m/a) |
2 |
|
|
|
2 |
]; |
|
б) |
u = e− |
λ |
|
γ t |
sin |
2πx |
sin |
πy |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
+ (n/b) |
|
|
|
|
|
a |
b . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
π π |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
Am,ne−(m2+n2)a2t cos mx cos ny, |
|||||||||||||||||||||
5.41. u = |
1 |
|
|
|
|
|
f(x, y) dxdy+ |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
π |
|
RπRπ |
|
|
|
|
|
|
|
P≥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
m+n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Am,n = |
|
|
|
1 |
|
|
|
R R |
f(x, y) cos mx cos ny dxdy, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
π π |
|
|
|
|
|
π π |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Nm,n |
0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
R R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ ∞ |
|
|
|
|
|
R R |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Nm,n = |
|
|
|
cos2 mx cos2 ny dxdy; |
|
|
lim |
|
u = |
|
|
f(x, y) dxdy. |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
+ |
|
|
|
|
|
π |
0 0 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.42. Задача Штурма-Лиувилля: R00 + λ2R = 0 при 0 < r < a, R = 0 при r = 0, aR0 − R = 0 при r = a. Собственные числа и собственные функции: λ0 = 0, R0 = r; 0 < λ1 < λ2 < ... – корни уравнения tg λa = λa, Rn = sin λnr. Температура в шаре:
u = |
3 |
a |
2 |
1 |
∞ sin λnr |
e− |
γλ2t |
a |
a |
sin2 λna |
. |
|
|
||
a3 |
r |
|
f(r) dr + r |
Nn |
|
rf(r) sin λnr dr, |
Nn = 2 |
− 2aλn2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
R |
|
|
P |
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
n=1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
a |
u = 1 |
nP |
|
|
|
|
|
||
|
|
5.43. Количество нейтронов |
∞ Ane(b−α2λn2 ) t sin λnr, где An = |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
r2f(r) sin λnr dr, Nn = sin2 λnr dr, λn – положительные корни уравнения tg aλ = aλ , 0 < |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Nn 0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
1−aγ |
|||
λ1 < λ2 < ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Реактор находится в критическом состоянии, если его параметры таковы, что b = α2λ21. В этом случае с течением времени количество нейтронов будет стабилизироваться. Но если при этом немного уменьшить значение параметра γ (т.е. улучшить отражающую способность оболочки шара), то число λ1 уменьшится, и баланс "рождение-поглощение нейтронов"будет нарушен в пользу избытка рождений над поглощениями, т.е. процесс станет лавинообразным (взрыв!). Наоборот, увеличение поглощающей способности оболочки увеличит и число λ1, что приведёт к затуханию процесса.
|
|
∞ |
|
mπx |
nπy |
|
|
|
P |
|
l l |
sin l , |
|
5.44. u = m,n=1 Am,n cos λm,nat · Ψm,n(x, y), Ψm,n(x, y) = sin l |
||||||
λm,n = π √ |
|
, Am,n = |
1 |
f(x, y)Ψm,n(x, y) dxdy, |
|
|
m2 + n2 |
|
|||||
|
|
|||||
l l |
Nm,n |
R R |
|
|||
l |
|
|
|
0 0 |
|
|
R R |
|
|
||||
|
|
|
||||
Nm,n = |
|
Ψm,n2 (x, y) dxdy. |
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
76
|
|
|
4 |
|
|
|
πx |
πy |
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
π (2l+1) z |
|
|||||||||||
|
λk = πqa12 |
+ b12 |
+ kc22 |
. |
lP |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
sin λ2l+1t · sin c |
, |
|||||||||||||||||||||
|
5.45. u = |
|
π |
sin |
a |
sin |
|
b |
=0 (2l+1)λ2l+1 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rf(r) sin(λnr) dr! sin(λnαt)·sin(λnr), |
|||||||||
|
5.46. u = a3 |
0 |
r2f(r) dr+αr n=1 λnNn |
0 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3t |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 ∞ |
1 |
|
a |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
λn = ξn/a, |
ξn – положительные корни уравнения tg ξ = ξ. |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
∞ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a b |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
5.47. u = ab m,n=1 sh µm,nc [Am,n sh µm,n(c − z) + Bm,n sh µm,nz], |
|||||||||||||||||||||||||||
|
apb |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R R |
|
|
|
|||||
|
µm,n = π |
|
|
(m/a)2 + (n/b)2, |
Am,n = |
f(x, y)Ψm,n(x, y) dxdy, |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 |
|
|
|
|
|
|
Bm,n = |
|
|
g(x, y)Ψm,n(x, y) dxdy, |
Ψm,n(x, y) = sin mπx sin nπy . |
|||||||||||||||||||||||
|
R R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x+at |
a |
b |
|||
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
5.49. u(x, t) = 21 [ φ(x − at) + φ(x + at) ] + |
1 |
ψ(ξ) dξ. |
|
||||||||||||||||||||||||
|
2a |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x−at |
|
|
|
5.50. б) u = ut = 0 при t = 0. |
в) u(x, t) = 2 [ φ(x − at) + φ(x + at) ]+ |
||||||||||||||||||||||||||
1 |
x+at |
|
|
|
1 |
|
|
t |
x+aτ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
R |
|
|
|
|
R |
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a x−at ψ(ξ) dξ + 2a 0 dτ x−aτ F (ξ, t − τ) dξ.
a
Nn = R sin2(λnr) dr,
0
5.51.u(x, t) = 12 [ φ(at + x) − φ(at − x) ], причем функция φ продолжена на отрицательную полуось нечётно: φ(−x) = −φ(x).
5.52.Ответ имеет такой же вид, как в задаче 5.51, причём функция φ продолжена на всю ось нечётно
и2l - периодически: φ(−x) = −φ(x), φ(x + 2l) = φ(x).
∞ |
1 |
|
|
nP |
|
|
|
Mn sh λnh [An |
|||
5.53. u = |
|||
=1 |
|
|
λn = ξn/a > 0, J0(ξn) = 0,
a
R
An = rf(r)J0(λnr) dr, Bn
0
sh λn(h − z) + Bn sh λnz],
a
Mn = R rJ02(λnr) dr = 0, 5a2J12(λna),
0
a
R
=rg(r)J0(λnr) dr.
0
5.54. u = h n=1 |
Qn(a) |
0 |
f(z) sin |
|
h |
dz! sin h , |
|
|||||||||||||
|
2 |
∞ |
Qn(r) |
h |
|
|
|
|
|
nπz |
|
nπz |
|
|||||||
|
P |
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Qn(r) = J0(iπnr/h) = |
∞ |
|
1 |
|
nπr |
2k |
> 0. |
|
|
|||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
kP |
b |
2h |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(k!) |
|
|
|
|
|
|
|||||
5.55. u = n=1 |
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
rf(r)J0(λnr) dr! J0(λnr), |
|||||||||||
Mn e−a |
λn t |
0 |
|
|||||||||||||||||
|
∞ |
|
1 |
|
|
2 |
2 |
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
||||
λn = ξn/b > 0, J0(ξn) = 0, |
Mn = rJ2(λnr) dr = 0, 5 b2J2(λnb). |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
5.56. u = |
∞ |
|
An e−λn2 tRn(r), где λn > 0 – корень уравнения |
|||||||||||||||||
|
nP |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
=1 Mn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
N0 (λa)J0(λb) J0 (λa)N0(λb) = 0, |
|
|
An = rf(r)Rn(r) dr, |
|||||||||||||||||
b |
− 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
||||
Mn = rR2 (r) dr, |
|
Rn(r) = N0 (λna)J0(λnr) J0 (λna)N0(λnr). |
||||||||||||||||||
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 0 |
|
a n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||
b |
∞ |
|
An |
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|||
nP |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λn = ξn/b > 0, |
J0(ξ) = 0, |
||||
5.57. u = |
=1 Mn cos λnat · J0(λnr), |
|||||||||||||||||||
An = rf(r)J0(λnr) dr, |
Mn = rJ02(λnr) dr. |
|
||||||||||||||||||
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
λ2 |
t |
· J0 |
(λ0,nr)+ |
|
||||
5.58. u = n=1 h2πM0,n A0,ne− |
0,n |
|
|
|||||||||||||||||
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
77
1 ∞ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ2 |
|
|
t |
· Jm(λm,nr) , где λm,n (n = 1, 2, ...) – корни уравне- |
|||||||
π m=1 Mm,n (Am,n cos mφ + Bm,n sin mφ)e− m,n |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ния Jm(λb) = 0, |
|
|
m = 0, 1, 2, ...; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2π b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π b |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Am,n = |
|
|
|
|
|
|
rf(r, φ) cos mφ drdφ, |
Bm,n = |
|
|
|
|
rf(r, φ) sin mφ drdφ, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
π b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R R |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
2R R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
A0,n = |
0 |
0 |
|
rf(r, φ) drdφ, |
|
Mm,n = |
0 |
rJm2 (λm,nr) dr. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
R R |
|
|
∞ (n + 1 ) |
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
5.60. u = |
|
|
|
r |
|
n AnPn(cos θ), |
An = |
f(θ)Pn(cos θ) sin θ dθ. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
2 |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + ar cos θ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
В частномPслучае u = |
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
5.61. u = |
|
|
∞ (n + 1 ) |
|
a |
|
n+1 AnPn(cos θ), |
An = |
π |
f(θ)Pn(cos θ) sin θ dθ. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
2 |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|||||||||||
5.62. u = |
|
4P2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
5 r |
P2(cos θ) ln a . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
5.63. u = |
|
|
∞ (n + 1 )e−n(n+1)(a/b)2 tAnPn(cos θ), |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
nP |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
An = |
0 |
f(θ)Pn(cos θ) sin θ dθ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
∞ |
|
∞ |
|
|
|
|
|
µ2 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
5.64. u = |
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Am,ne− m,n |
Jn+ 1 (µm,nr)Pn(cos θ), где µm,n – |
||||||||||||||||||||||||||||||||
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 m=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
положительные корниP Pуравнения Jn+ 21 (µb) = 0, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Am,n = (n + |
1 ) |
1 |
|
|
π b |
f(r, θ)J |
|
|
1 (µm,nr)Pn(cos θ)r√ |
|
sin θ drdθ, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
r |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Mm,n |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
0 0 |
|
|
|
n+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Mm,n = |
|
J2 |
|
|
1 (µm,nr)r dr = 0, 5 b2 [J0 |
1 (µm,nb)]2. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
n+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n+ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
В частномR |
|
случае ряд по полиномам Лежандра состоит из одного слагаемого с n = 1, при этом |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
sin x |
|
cos x), поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
J2 (x) = qπx |
( x − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
u = 1 |
|
|
|
∞ |
|
|
Am,1e−µm,1tJ3 (µm,1r) cos θ, причем µm,1 = ξm/b, где ξm – положительные корни урав- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
r |
|
m=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
нения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
tg ξ |
= ξ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
5.65. u = A0 |
|
+ |
1 B0 + |
|
∞ (Anrn + |
|
Bn |
) Pn(cos θ), |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n+1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
nP |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|||||
A0 = |
|
|
1 |
|
[2b |
|
|
f(θ) sin θ dθ − aV0], |
|
B0 = |
ab |
[V0 − 21 |
|
f(θ) sin θ dθ], |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
|
a |
|
|
|
b a |
0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|||||
An = |
|
|
|
|
|
|
bn R |
|
|
|
|
|
(n + 0, 5) |
|
f(θ)Pn(cos θ) sin θ dθ, |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
b2n+1−a2n+1 |
0 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2n+1bn+1 |
|
|
|
|
R |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Bn = − |
|
|
|
|
|
(n + 0, 5) |
f(θ)Pn(cos θ) sin θ dθ. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b2n+1 |
− |
a2n+1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5.66. a) n = 0: P (0) = 1; |
|
б) n = 1: P (0) = cos θ, P (1) = sin θ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||
в) n = 2: P2(0) = 21 (3 cos2 θ − 1), |
P2(1) = 3 cos θ sin θ, |
P2(2) = 3 cos2 θ. |
∞n
5.67.u = P (r/a)n P (Am,n cos mφ + Bm,n sin mφ) Pn(m)(cos θ),
|
n=0 |
|
m=0 |
|
|
|
|
||
|
1 |
|
2π |
|
π |
(m) |
|
||
|
|
R |
|
R |
|
||||
Am,n = |
|
|
|
cos mφ dφ |
f(φ, θ)Pn |
|
(cos θ) sin θ dθ, |
||
Qm,n |
|
0 |
0 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
2π |
|
π |
(m) |
|
|
|
|
|
R |
|
R |
|
|
|||
Bm,n = |
|
|
|
π |
f(φ, θ)Pn |
(cos θ) sin θ dθ, |
|||
2π |
|
|
|||||||
Rm,n |
0 |
sin mφ dφ |
0 |
||||||
Qm,n = R |
|
|
|
|
|
|
|||
cos2 mφ dφ R [Pn(m)(cos θ)]2 sin θ dθ, |
00
78
|
2π |
|
π |
|
|
|
|
|
Rm,n = R |
sin2 mφ dφ R [Pn(m)(cos θ)]2 sin θ dθ. |
|||||||
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
Учитывая нормировку присоединённых функций, получаем: |
||||||||
Q0,n = |
4π |
, Qm,n = Rm,n = |
2π |
|
(n+m)! |
, m = 1, 2, ..., n. |
||
2n+1 |
2n+1 (n−m)! |
|||||||
|
|
|
||||||
В частном случае u = (r/a)2 cos φ sin 2θ. |
|
5.68. Ответ аналогичен ответу задачи 5.67, только вместо радиального множителя rn следует взять множитель r−(n+1).
∞ n
5.69. u = P P e−(a/b)2n(n+1 t)(Am,n cos mφ + Bm,n sin mφ) Pn(m)(cos θ).
n=0 m=0
Коэффициенты Am,n и Bm,n определяются из равенства
∞ n
f(θ, φ) = X X (Am,n cos mφ + Bm,n sin mφ) Pn(m)(cos θ)
n=0 m=0
так же, как в задаче 5.67.
79