- •1 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
- •1.1 Однозначные регулярные функции
- •1.1.1 Комплексные числа
- •1.1.4 Интеграл по контуру на комплексной плоскости
- •1.1.5 Ряд Лорана. Особые точки функции
- •1.1.6 Вычеты и их применение
- •1.1.7 Принцип аргумента. Теорема Руше
- •1.2 Многозначные аналитические функции
- •1.2.1 Регулярные ветви
- •1.2.2 Римановы поверхности
- •1.2.3 Интегралы от многозначных функций
- •1.3 Конформные отображения
- •1.3.1 Дробно-линейная функция
- •1.3.3 Функция Жуковского
- •1.3.5 Интеграл Кристоффеля-Шварца
- •1.3.6 Применение конформных отображений в электростатике
- •2 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
- •2.1 Пространство K основных функций
- •2.2 Пространство S основных функций
- •2.3 Регулярные и сингулярные обобщённые функции
- •2.4 Действия с обобщёнными функциями
- •2.5 Локальное поведение обобщённых функций
- •2.6 Основные и обобщённые функции многих переменных
- •2.8 Свёртка
- •2.9.1 Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •2.9.2 Уравнения с частными производными
- •2.10 Фундаментальные решения
- •2.11 Преобразование Фурье
- •2.11.1 Дополнение
- •3 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
- •3.1 Классификация уравнений 2-го порядка
- •3.2.1 Две независимых переменных
- •3.3 Три или четыре независимых переменных
- •3.4 Метод Даламбера для уравнения колебаний струны
- •3.4.1 Неограниченная струна
- •3.4.2 Ограниченная струна
- •3.5 Метод разделения переменных. Специальные функции
- •3.5.1 Цилиндpические функции
- •3.5.2 Сфеpические функции
- •4 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
- •4.1 Понятие асимптотического разложения
- •4.1.1 О-символика. Асимптотическая последовательность
- •4.1.2 Асимптотическое разложение функции
- •4.2 Асимптотика интегралов типа Лапласа
- •4.2.1 Монотонная фазовая функция
- •4.3 Асимптотика интегралов типа Фурье
- •4.3.1 Монотонная фазовая функция
- •4.3.2 Немонотонная фазовая функция
- •4.4 Асимптотика кратных интегралов типа Фурье
- •4.5 Метод перевала
- •5 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ
- •5.1 Построение решений с помощью рядов
- •5.1.1 Неособые точки уравнения
- •5.1.2 Регулярная особая точка уравнения
|
|
|
( |
1 |
|
x |
− |
1 |
|
3x |
, x < 0, |
|
4.73. а) E(x) = |
|
1 e−2|x|; б) E(x) = |
61e |
|
|
e |
|
|||||
− |
|
10 |
|
|||||||||
|
4 |
|
|
e−2x, x > 0. |
||||||||
|
15 |
|||||||||||
4.74. а) E(x) = |
(x 1)ex, x < 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1−, x > 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) E(x) = |
0, x < 0, |
0, 001 [20x − 8 + e−x(8 cos 2x − 6 sin 2x)], x > 0. |
4.75.а) E(x) = ex − x − 1 при x > 0 (контур проведён ниже обоих полюсов); б) E(x) = x + 1 − ex при x < 0 (контур проведён выше обоих полюсов).
4.76.E(x) = ( ch x − 1)θ(x); G(x, ξ) = ( ch (x − ξ) − 1)θ(x − ξ) + C ( sh 1 − ch 1 sh x + sh (x − 1)),
C = [1 − ch (1 − ξ)]/[(1 − ch 1) sh 1].
4.77. E(x, y, z) = − |
1 |
|
; u(x, y, z) = − |
1 |
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
f(ξ,η,ζ) |
|
|
|
|
|
|
dξdηdζ |
|||||||||||||||||||||
4πr |
4π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
R3 |
(x |
|
ξ)2 |
+(y |
|
η)2 |
+(z |
|
|
ζ)2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
(т.н. ньютонов потенциал). |
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
− |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
− |
|
|
|
||||||||||||||||
4.79. E(x, t) = |
|
θ(t) |
|
exp(− |
2 |
); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2a√ |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
4a2t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
πt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
1 |
|
∞ dτ |
|
|
∞ |
|
|
|
|
(x−ξ)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
u(x, t) = |
2a√ |
|
0 |
√ |
|
|
|
|
|
|
|
f(ξ, τ) exp(− |
4a2(t−τ) |
) dξ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
π |
τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
θ(t) |
R |
|
|~x|2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
4.80. E(~x, t) = |
(2a√ |
|
)3 |
exp(− |
|
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
4a2t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
πt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
4.81. E(x, t) = |
1 |
θ(at + x)θ(at − x) = |
1 |
θ(at − |x|). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
2a |
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
at+bx |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4.82. E(x, y) = |
|
. |
4.83. E(x, t) = −θ(t)θ(−x)e |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
π (x+iy) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
∞ |
|
|
|
− |
(x−ξ)2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4a2t |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4.85. При t > 0, |
|
U(x, t) = E(x, t), u(x, t) = 2a√πt −∞ f(ξ)e |
|
|
|
|
|
dξ. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.86.При t > 0, U(x, t) = 21a θ(at − x)θ(at + x).
2.11.1Дополнение
Д1. Найти обобщённые функции y(x), удовлетворяющие следующим уравнениям: а) (x3 − x)y(x) = 0; б) (x3 − 3x + 2)y(x) = 0; в) (x3 − 3x + 18)y(x) = 0. Д2. Вычислить f00(x), если f(x) = |x2 + 5x − (5x − 11)|x| − 12|.
Д3. Найти решения уравнений, удовлетворяющие указанным условиям: а) y00 − 3y0 + 2y = δ(x), y → 0, x → ±∞;
б) y00 − 4y0 + 3y = δ(x), y|x<0 ≡ 0;
в) y00 |
− |
4y0 + 3y = δ(x), y x>0 |
≡ |
0; |
|
| |
|
г) y00 + 4y = δ(x), y(−x) = y(x).
Ответы.
Д1. а) y(x) = C1δ(x) + C2δ(x − 1) + C3δ(x + 1); б) y(x) = C1δ(x + 2) + C2δ(x − 1) + C3δ0(x − 1);
в) y(x) = Cδ(x + 3).
Д2. f00(x) = g(x) + 36δ(x + 1) − 22δ(x) + 16δ(x − 1) − 16δ(x − 3),
|
|
|
|
|
|
12, |
|
x < 1, |
|
где g(x) – классическая производная, g(x) = |
−12, −1−< x < 0, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
8, 0 < x < 1 x > 3, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−8, |
1 < x < 3. |
||
|
|
|
|
|
1 |
||||
|
x |
|
2x |
|
3x |
|
|
x |
|
Д3. а) y(x) = (e |
|
|
e |
)θ( x); б) y(x) = |
(e |
|
|
e )θ(x); |
|
|
|
− |
|
− |
2 |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
в) y(x) = 12 (ex − e3x)θ(−x); г) y(x) = 14 sin(2|x|).
57