Неполные уравнения прямой. Уравнение прямой в отрезках.

Общее уравнение прямой (6.1) называется полным, если все его коэффициенты А, В и С отличны от нуля. Если хотя бы один из указанных коэффициентов равен нулю, уравнение называется неполным.

Рассмотрим все возможные виды неполных уравнений:

(1). С=0, уравнение Ах+Ву = 0 определяет прямую, проходящую через начало координат (поскольку координаты начала удовлетворяют этому уравнению).

(2). В=0, уравнение Ах+С=0 определяет прямую, параллельную оси Оу (поскольку нормальный вектор этой прямой n = (А, 0) ортогонален оси Оу).

(3). А = 0, уравнение Ву+С=0 определяет прямую, параллельную оси Ох (поскольку нормальный вектор этой прямой n = (0, В) ортогонален оси Ох).

(4). B = 0 и С=0, уравнение Ах = 0 определяет ось Оу (в самом деле, эта прямая параллельна оси Оу и проходит через начало координат).

(5). A = 0, С=0, уравнение Ву = 0 определяет ось Ох (ибо эта прямая параллельна оси Ох и проходит через начало координат).

Рассмотрим теперь полное уравнение прямой (6.1) и покажем, что оно может быть приведено к следующему виду:

, (6.6)

называемому уравнением прямой в отрезках.

В самом деле, так как все коэффициенты А, В и С отличны от нуля, мы можем переписать уравнение (5.1) в виде

и затем положить .

Замечание. В уравнении «в отрезках» (6.6) числа а и b имеют простой геометрический смысл: они равны величинам отрезков, которые отсекает прямая на осях Ох и Оу соответственно (отрезки отсчитываются от начала координат, см. рис.). Чтобы убедиться в этом, достаточно найти точки пересечения прямой, определяемой уравнением (6.6), с осями координат.

Уравнение прямой в форме «в отрезках» удобно использовать для построения этой прямой на чертеже.

Каноническое уравнение прямой. Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, будем называть направляющим вектором этой прямой.

Задача: найти уравнение прямой, проходящей через заданную точку М₁(х₁,у₁) и имеющей заданный направляющий вектор q = (l,m).

Точка М (х, у) лежит на указанной прямой тогда и только тогда, когда векторы и q = (l,m) коллинеарны, т.е. тогда и только тогда, когда координаты этих векторов пропорциональны:

(6.7)

Уравнение (6.7) и есть искомое уравнение прямой. Это уравнение называют обычно каноническим уравнением прямой.

Замечание. В каноническом уравнении (6.7) один из знаменателей l или m может оказаться равным нулю (оба числа l и m равняться нулю не могут, поскольку вектор q = (l,m) ненулевой). Так как всякую пропорцию понимают как равенство , обращение в нуль одного из знаменателей в (6.7) означает обращение в нуль и соответствующего числителя. В самом деле, если, например, l = 0, то, поскольку m≠0, из равенства l(y-y₁) = m(х-х₁) заключаем, что х-х₁=0.

В заключение запишем уравнение прямой, проходящей через две заданные точки М₁(х₁,у₁) и М₂(х₂,у₂) (эти точки отличны друг от друга). Так как за направляющий вектор такой прямой можно взять вектор и прямая проходит через точку М₁(х₁, у₁), то из канонического уравнения (6.6) получим уравнение искомой прямой в виде

Параметрические уравнения прямой. Параметрические уравнения прямой получаются из канонического уравнения этой прямой. Примем за параметр t величину, стоящую в левой и в правой частях (6.7). Так как один из знаменателей (6.7) отличен от нуля, а соответствующий числитель может принимать какие угодно значения, то областью изменения параметра t явля­ется вся вещественная ось: -∞ < t < +∞.

Мы получим х - х₁ = lt, у – у₁ = mt или окончательно

x = x₁ + lt, y = y₁+ mt. (6.9)

Уравнения (6.9) и есть искомые параметрические уравнения прямой. Уравнения (6.9) допускают наглядную механическую интерпретацию. Если считать, что параметр t — это время, отсчитываемое от некоторого начального момента, то параметрические уравнения (6.9) определяют закон движения материальной точки по прямой линии с постоянной скоростью (такое движение происходит по инерции).

Прямая с угловым коэффициентом. Рассмотрим любую прямую, не параллельную оси Ох. Введем понятие угла наклона этой прямой к оси Ох. Предположим, что рассматриваемая прямая пересекает ось Ох в точке А (см. рис.). Возьмем на оси Ох произ­вольную точку М, лежащую по ту сторону от точки А, куда направлена ось Ох, а на рассматриваемой прямой произвольную точку N, лежащую по ту сторону от точки А, куда направлена ось Оу.

Угол назовем углом наклона данной прямой к оси Ох.

Если прямая параллельна оси Ох или совпадает с ней, то угол наклона этой прямой к оси Ох мы будем считать равным нулю.

Тангенс угла наклона прямой к оси Ох назовем угловым коэффициентом этой прямой. Если обозначить буквой k угловой коэффициент данной прямой, а буквой α угол наклона этой прямой к оси Ох, то по определению можно записать

Замечание. Для прямой, параллельной оси Ох, угловой коэффициент равен нулю, а для прямой, перпендикулярной оси Ох, угловой коэффициент не существует (в последнем случае иногда говорят, что угловой коэффициент «обращается в бесконечность»).

Выведем уравнение прямой, проходящей через заданную точку М₁(х₁,у₁) и имеющей заданный угловой коэффициент k.

Для этого докажем сначала следующее утверждение: если прямая не параллельна оси Оу и имеет направляющий вектор q =(l,m), то угловой коэффициент этой прямой равен

Пусть α — угол наклона прямой к оси Ох, а θ — угол наклона направляющего вектора q =(l,m) к оси Ох. Так как прямая может быть наклонена к оси Ох под острым или под тупым углом и ее направляющий вектор q может иметь два противоположных направления, то возможны четыре случая, изображенных на рисунке.

В случаях 1) и 3) θ = α и для проекций на оси вектора q справедливы формулы

В случаях 2) и 4) θ = π-α и для проекций вектора q справедливы формулы

Таким образом, в случаях 1) и 3) а в случаях 2) и 4)

Поэтому, во всех четырех случаях и утверждение доказано.

Для того чтобы вывести уравнение прямой, проходящей через заданную точку М₁(х₁,у₁) и имеющей заданный угловой коэффициент k, умножим обе части канонического уравнения (6.7) на m и учтем, что

Получим искомое уравнение в виде

у-у₁=k(х-х₁). (6.10)

Если теперь обозначить через b постоянную b = у₁-kх₁, то уравнение (6.10) примет вид

у = kх+b. (6.11)

Уравнение (6.11) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом. В этом уравнении k обозначает угловой коэффициент данной прямой, a b представляет собой величину отрезка, отсекаемого данной прямой на оси Оу, начиная от начала координат. Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть совместно уравнение (6.11) и уравнение х = 0 оси Оу и найти координаты точки пересечения оси Оу и прямой (6.11): x=0, y = b (см. рис.).