Lektsii_1-50

1Комплексные числа

1.1Алгебраическая форма комплексного числа

Определение 1. Комплексным числом называют выражение вида a + bi, где a и b действительные числа, а i мнимая единица,

для которой выполнено равенство i2 = ¡1.

При этом комплексные числа можно сравнивать, складывать и умножать по следующим правилам:

1)a + bi = c + di () a = c и b = d.

2)(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.

3)(a + bi) ¢ (c + di) = (ac ¡ bd) + (ad + bc)i.

Можно сформулировать следующее правило: с комплексными числами можно действовать как с обычными алгебраическими выражениями, заменяя при этом величину i2 числом ¡1.

Примеры. 1) (2 + 3i) + (5 ¡ i) = (2 + 5) + (3 ¡ 1)i = 7 + 2i.

2) (4 ¡ 3i)(2 + 6i) = 8 + 24i ¡ 6i ¡ 18i2 = 8 + 24i ¡ 6i ¡ 18 ¢ (¡1) = 8 + 24i ¡ 6i + 18 = 26 + 18i.

Можно ли ввести отношение порядка на множестве комплексных чисел? Оказывается нельзя. Для проверки надо сравнить i и 0:

Если i > 0, то i2 > 02, откуда ¡1 > 0 противоречие.

Если i < 0, то ¡i > 0, поэтому (¡i)2 > 02, откуда ¡1 > 0 снова противоречие.

1.2Комплексные числа как пары действительных чисел

Как хранить комплексные числа в компьютере? Комплексному числу z = a + bi поставим в соответствие пару (a; b) действительных чисел. Определение 2. Комплексное число это пара (a; b) действительных чисел. При этом:

1)(a; b) = (c; d) () a = c; b = d.

2)(a; b) + (c; d) = (a + c; b + d).

3)(a; b) ¢ (c; d) = (ac ¡ bd; ad + bc).

4)Если k 2 R, то k ¢ (a; b) = (ka; kb).

1

Из определения 2 можно вывести:

Лемма 1 Сложение и умножение пар коммутативно и ассоциативно. Выполнен также закон дистрибутивности.

Каждому действительному числу x поставим в соответствие комплексное число f(x) = x + 0 ¢ i. Тогда получим отображение f : R ! C.

Лемма 2 Отображение f : R ! C обладает следуещими свойствами:

1)f(x) = f(y) () x = y.

2)f(x + y) = f(x) + f(y).

3)f(x ¢ y) = f(x) ¢ f(y).

4)f(xy ) = ff((xy)).

Отображение f со свойствми 1) – 3) называется изоморфным вложением. Пары вида (a; 0) ведут себя как действительные числа. Пара (1; 0) ведет себя как 1: (1; 0) ¢ (a; b) = (a; b)

Определение 3. i = (0; 1).

Лемма 3 Пара (a; b) может быть записана в виде a + bi, где i = (0; 1).

Отметим, что рациональные числа можно определить как пары целых чисел: рациональному числу ab , где a и b целые и b =6 0, сопоставляется пара (a; b) целых чисел. При этом равенство рациональных чисел, а также сложение и умножение рациональных чисел можно определить так:

1)(a; b) = (c; d) () ad = bc; b = d.

2)(a; b) + (c; d) = (ad + bc; bd).

3)(a; b) ¢ (c; d) = (ac; bd).

4)Если k =6 0 целое число, то k¢(a; b) = (ka; kb). Кроме того, 0 ¢ (a; b) = (0; 1).

Подобное представление рациональных чисел используется при компьютерных вычислениях.

Комплексные числа можно определить и еще одним способом как многочлены первой степени:

Определение 4. Комплексным числом называется многочен первой степени вида a + bx с действительными коэффициентами. При этом комплексные числа сравниваются и складываются как обычные многочлены а при умножении многочленов получается остаток при делении обычного произведения этих многочленов на многочлен x2 + 1.

При таком описании комплексному числу a+bi с действительными a и b сопоставляется многочлен a + bx. В такой форме легко обосновать основные свойства комплексных чисел (коммутативность и ассоциативность сложения и умножения, дистрибутивность и т.д.).

2

1.3Комплексная плоскость. Модуль и аргумент.

Пусть на плоскости задана декартова система координат xOy. Числу z = a + bi сопоставляем точку M = M(z) плоскости с координатами (x; y). Тогда разным числам соответствут разные точки плоскости и наоборот.

Модулем числа z называется действительное число r = jOMj (длина отрезка OM), а аргументом угол ' = 6xOM. Ясно, что модуль всегда неотрицателен, а аргумент определен с точностью до числа, кратного 2¼. Аргумент числа 0 + 0 ¢ i = 0 не определен. Обозначения: r = jzj и ' = arg z.

p

Пример. Пусть z = 1 + i 3. Тогда jzj = 2 и arg z = ¼3 .

Задача. Изобразить на комплексной плоскости ввсе точоки z, для которых: а) jzj = 2; б) arg z = 1.

Предложение 1 Пусть z = a + bi, где a; b 2 R. Тогда jzj = pa2 + b2.

Предложение 2 Пусть z = a + bi, где a; b 2 R. Пусть ' = arg z. Тогда:

1)Если a 6= 0, то tg ' = ab .

2)Если a = 0 и b > 0, то ' = ¼2 + 2¼k, где k целое число.

3)Если a = 0 и b < 0, то ' = 32¼ + 2¼k, где k целое число.

Предложение 3 Пусть z комплексное число, r = jzj и ' = arg z его моуль и аргумент. Тогда z = r(cos ' + isin').

p

Примеры. 1) 1 + i 3 = 2(cos ¼3 + i sin ¼3 ). 2) 4 = 4(cos 0 + i sin 0).

3) ¡7 = 7(cos ¼ + i sin ¼). 4) 0 = 1 ¢ (cos 0 + i sin 0), хотя аргумент числа 0 не определен.

Подобные представления комплексных чисел используются при умножении, возведении степень, извлечении корней. В связи с этим полезно вспомнить следующие представления чисел: 2 = 10lg 2, 11 = 10112.

Предложение 4 Пусть z = d(cos à + isinÃ), где d 2 R, d > 0. Тогда r это модуль числа z, а à его аргумент.

1.4Сопряженное комплексное число.

Определение 5. Пусть z = a + bi, где a; b 2 R. Тогда сопряженным к числу z называется число a ¡ bi, которое обозначается. z.

3

Таким образом, a + bi = a ¡ bi при условии, что a; b 2 R.

Примеры. 3 + 7i = 3 ¡ 7i, 17 = 17.

Отметим, что числам z и z на комплексной плоскости сответствуют точки, которые симметричны относительно оси Ox.

Предложение 5 Пусть z1; z2 2 C. Тогда: 1) z1 + z2 = z1 + z2.

2) z1 ¢ z2 = z1 ¢ z2. 3) z1 = z1 .

z2 z2

Предложение 6 Пусть z 2 C. Тогда: 1) z = z. 2) jzj2 = z ¢ z. 3) z 2 R () z = z.

1.5Тригонометрическая форма комплексного числа

Тригонометрической формой комплексного числа z называется запись этого числа в виде z = r(cos '+isin'), где z = jzj модуль, а ' = arg z аргумент числа z.

Лемма 4 Пусть комплексные числа z1 и z2 записаны в тригонометрической форме: z1 = r1(cos ' + isin'), z = r2(cos à + isinÃ). Тогда z1z2 = r1r2(cos(' + Ã) + isin(' + Ã)).

Предложение 7 При умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Таким образом, справедливы следующие равенства

1)jz1z2 : : : znj = jz1j ¢ jz2j ¢ : : : ¢ jznj.

2)arg(z1z2 : : : zn) = arg(z1) ¢ + arg(z2) + : : : + arg(zn). Здесь n ¸ 2 любое целое число.

4

1.6Формула Муавра

При любом целом n ¸ 1 справедлива формула Муавра:

[r(cos ' + isin')]n = rn (cos n' + isinn')

Пример. Вычислим z20, где z = p3 + i. Для этого найдем модуль и

' = arg z = 6 (поскольку точка, соответствующая числу z, располагается в первом квадранте координатной плоскости). По формуле Муавра находим

1.7Извлечение корней из комплексных чисел

Пусть z¤ комплексное число и n ¸ 2 целое число. Комплексное число z называют корнем степени n из числа z¤, если zn = z¤. Корень степени 2

называют кввадратным корнем.

Извлечь квадратный корень из числа z¤ можно следующим образом. Пусть z¤ = a+bi, где a и b действительные числа. Будем искать квадратный корень из z¤ в виде z = x + iy, где x и y действительные числа. Тогда z2 = (x + iy)2 = x2 + 2ixy ¡ y2, что должно совпадать с z¤ = a + bi, откуда

8

< x2 ¡ y2 = a;

:2xy = b:

Получаем систему уравнений с неизвестными x и y, решив которую найдем z = pz¤.

Если n > 2, то описанный прием приводит к такой системе уравнений, решить которую, как правило, чрезвычайно трудно. В этом случае решение лучше искать в тригонометрической форме.

Предложение 8 Пусть n ¸ 2 целое число и z¤ комплексное число. Пусть r¤ = jz¤j и '¤ = arg(z¤) модуль и аргумент числа z¤. Тогда все комплексные корни степени n из числа z¤ можно найти по формуле

5

где k = 0; 1; 2; : : : ; n ¡ 1.

Если z¤ 6= 0, то имеется ровно n различных комплексных корней из числа z¤.

1.8Корни из 1

Корни степени из единицы принято обозначать "0, "1, : : :, "n¡1.

Предложение 9 Все комплексные корни степени n из 1 можно найти по формуле

где k = 0; 1; 2; : : : ; n ¡ 1.

Несложно проверить, что все комплексные корни степени n из 1 лежат в вершинах правильного n-угольника. Этот n-угольник вписан в единичную окружность с центром в начале координат и одна из его вершин лежит в точке с координатаами (1; 0).

6

2Многочлены

Определение 1. Многочленом от переменной x называется выражение f(x) вида

a0xn + a1xn¡1 + : : : + an¡1x + an:

Обозначение: f(x), g(x), f1(x), : : : .

Обычно ai это числа (комплексные, действительные и т.п.) Эти числа называются коэффициентами многочлена.

Если a0 =6 0, то a0 называется старшим коэффициентом, а n степенью многочлена f(x). Запись: n = degf(x). Свободным членом называется an.

Другие формы записи многочлена:

1)По возрастающим степеням x.

2)В нестандартной форме: (x2 + 1)4 + (3x ¡ 2)3 + 11.

Многочлен, все коэффициенты которого равны нулю, называется нулевым. Запись: 0.

Многочлены назыывают также полиномами.

Предложение 10 Сумма и произведение двух многочленов являются многочленами. При этом:

1)deg (f(x) + g(x)) · maxfdeg f(x); deg g(x)g.

2)deg (f(x) ¢ g(x)) = deg f(x) + deg g(x).

Теорема о делении с остатком

Деление с остатком в кольце целых чисел. Пример: деление многочленов уголком.

Теорема 1 Пусть f(x) и g(x) два многочлена, причем g(x) ненулевой многочлен. Тогда существуют и единственны такие многочлены q(x) и r(x), что f(x) = g(x)q(x) + r(x) и deg r(x) < deg g(x) или g(x) нулевой многочлен.

Многочлен f(x) называют делимым, g(x) делителем, q(x) неполным частным, r(x) остатком при делении f(x) на g(x):

7

2.1Схема Горнера. Кратная схема Горнера.

Задача: разделить многочлен f(x) = 3x4 + x3 ¡ 2x + 3 на (x ¡ 2). Способ 1. Разделить “уголком“.

Способ 2. Использовать схему Горнера.

Общая задача: разделить f(x) на двучлен (x ¡ c).

Результаты вычислений обычно оформляют в виде таблицы:

Результат вычислений:

f(x) = 3x4 + x3 ¡ 2x + 3 = (x ¡ 2)(3x3 + 7x2 + 14x + 26) + 55:

Кратная схема Горнера

позволяет разложить многочлен по степеням (x ¡ c).

Где может использоваться разложение по степеням (x ¡ c)?

Задача. Пусть f(x) = 2x4 ¡ 5x3 + 4x ¡ 7. Найти f(2:01), f(2:001), f(2:005) с погрешностью не более 0:001.

8

Решение. Разлагаем f(x) по степеням (x ¡ 2):

f(x) = 2(x ¡ 2)4 + 11(x ¡ 2)3 + 18(x ¡ 2)2 + 8x ¡ 23:

Поэтому f(2:01) = 2¢0:014 +11¢0:013 +18¢0:012 +8¢0:01¡23 = = 0:00000002+ 0:000011 + 0:0018 + 0:08 ¡ 23 ¼ ¡23 + 0:08 + 0:018 = ¡22:9192.

2.2Теорема Безу

Задача. Найти остаток r при делении многочлена f(x) = 2x7 ¡ 3x3 + x + 3 на двучлен (x ¡ 2).

Три способа решения:

1)разделить уголком.

2)применить схему Горнера.

3)Использовать следующую лемму:

Лемма 5 Остаток r при делении многочлена f(x) на двучлен (x ¡ c) равен f(c).

Определение 2. Говорят, что многочлен f(x) делится на многочлен g(x), если остаток при делении f(x) на g(x) является нулевым многочленом. Запись: f(x).g(x) или g(x)jf(x).

Пример 1.p 1) (xp2 ¡ 1).(5x ¡ 5). 2) (x2 ¡ 1).( 15x ¡ 15).

Теорема 2 [Безу] Многочлен f(x) делится на двучлен x¡c () c корень f(x).

Лемма 6 Пусть x1, x2, : : :, xk различные корни многочлена f(x). Тогда найдется такой многочлен h(x), что

f(x) = (x ¡ x1)(x ¡ x2) : : : (x ¡ xk)h(x):

Предложение 11 Пусть f(x) многочлен с действительными (или комплексными коэффициентами. Тогда число его различных корней не больше степени многочлена.

Следствие 3 Пусть f(x) многочлен с действительными (или комплексными) коэффициентами степени не выше n и число его корней больше n. Тогда f(x) нулевой многочлен.

9

r

Алгебраическое и функциональное равенство многочленов. Не

было.

Говорят, что многочлены f(x) и g(x) равны алгебрически, если равны их степени и равны коэффициенты при соответствующих степенях x. Многочлены f(x) и g(x) равны функционально, если f(x) = g(x) при любом x.

Предложение 12 Многочлены f(x) и g(x) равны алгебрически тогда и только тогда, когда они равны функционально.

2.3Отношения делимости в кольце многочленов

многочленом.

2) (x2 + 1) 6.(x + 1), хотя (x2 + 1) = (x + 1) ¢ xx2+1+1 .

Предложение 14 Для любых многочленов f(x), g(x) и h(x) выполне следующие свойства:

1)f(x).f(x).

2)Если f(x).g(x) и g(x).h(x), то f(x).h(x).

3)Если f(x).g(x) и g(x).f(x), то f(x) = k ¢g(x) для некоторого числа k 6= 0.

Предложение 15 Пусть f1(x).g(x) и f2(x).g(x). Тогда:

1)(f1(x) § f2(x)).g(x).

2)(f1(x) ¢ f2(x)).g(x).

3)(f1(x) ¢ h(x)).g(x) для любого многочлена h(x).

Предложение 16 Пусть f(x).g(x). Тогда k1f(x).k2g(x) для любых чисел k1, k2, отличных от нуля.

10