- •8.1. Линии второго порядка на плоскости
- •8.2 Поверхности второго порядка в пространстве
- •8.3 Криволинейные системы координат
- •9.1. Вырожденные линии второго порядка
- •9.2 Эллипс и его свойства
- •9.3 Гипербола и ее свойства
- •9.4 Парабола и ее свойства
- •10.1 Эллипсоид
- •10.2 Эллиптический параболоид
- •10.3 Гиперболический параболоид
- •10.4 Однополостный гиперболоид
- •10.5 Двуполостный гиперболоид
КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ
ВТОРОГО ПОРЯДКА
Лекция 8
8.1. Линии второго порядка на плоскости
Пусть на плоскости дана ортонормированная система координат и некоторая линия L.
Определение. Линия L называется алгебраической линией второго порядка, если ее уравнение в данной системе координат может иметь вид
(8.1)
где числа A, B и C не равны нулю одновременно, а x и y - координаты радиуса-вектора точки, принадлежащей L.
Поскольку коэффициенты уравнения (8.1) зависят от выбора системы координат, при исследовании свойств линий второго порядка целесообразно перейти к другой ортонормированной системе координат , в которой запись уравнения линии оказывается наиболее простой.
Обозначим , тогда будет справедлива теорема.
Теорема 8.1 Для любой линии второго порядка существует ортонормированная система координат, в которой уравнение этой линии имеет (при ) один из следующих девяти (называемых каноническими) видов:
Тип линии Вид линии |
Эллиптический |
Гиперболический |
Параболический |
Пустые множества |
|
||
Изолированные точки |
|
|
|
Совпадающие прямые |
|
|
|
Несовпадающие прямые |
|
||
Кривые |
Эллипс |
Гипербола |
Парабола |
Замечание 1. При замене системы координат порядок алгебраической линии не меняется.
Замечание 2. Никакой заменой общей декартовой системы координат нельзя переместить линию второго порядка, находящуюся в одной из клеток таблицы в другую клетку.
Замечание 3. Пустое множество эллиптического типа иногда называют мнимым эллипсом, а пустое множество параболического типа – парой мнимых параллельных прямых.
8.2 Поверхности второго порядка в пространстве
Пусть дана ортонормированная система координат в пространстве.
Определение. Поверхность S называется алгебраической поверхностью второго порядка, если ее уравнение в данной системе координат имеет вид
(8.2)
где числа не равны нулю одновременно, а x, y и z - координаты радиуса-вектора точки, принадлежащей S.
Как и в плоском случае, коэффициенты уравнения (8.2) зависят от выбора системы координат, поэтому при исследовании свойств поверхностей второго порядка целесообразно предварительно перейти в ту систему координат, для которой уравнение поверхности оказывается наиболее простым.
Теорема 8.2 Для каждой поверхности второго порядка существует ортонормированная система координат , в которой уравнение этой поверхности имеет один из следующих семнадцати канонических видов:
Пустые множества |
Точки, прямые и плоскости |
Цилиндры и конусы |
||
|
Изолированная точка
Прямая
Пара пересекающихся плоскостей |
Эллиптический цилиндр
Гиперболический цилиндр Параболический цилиндр |
||
Пустые множества |
Точки, прямые и плоскости |
Цилиндры и конусы |
||
|
Пара параллельных или совпадающих плоскостей |
Конус |
||
Эллипсоиды |
Невырожденные поверхности
Параболоиды |
Гиперболоиды |
||
|
Эллиптический параболоид
Гиперболический параболоид |
Однополостный гиперболоид
Двуполостный гиперболоид |
причем .