Элементы квантовой теории электропроводности

Функция распределения Ферми-Дирака и вырожденный электронный газ

Электрические, тепловые и оптические свойства металлов определяются состоянием свободных электронов и их распределением по энергиям. Такое распределение описывается квантовой статистикой Ферми-Дирака.

В основе ее лежат следующие положения:

1. все электроны в системе одинаковы (неразличимы);

2. состояние электрона определяется четырьмя квантовыми числами;

3. в системе не может быть больше одного электрона в данном квантовом состоянии.

Заполнение уровней электронами задается функцией Ферми:

(1).

Величина называется уровнем Ферми.

Если в формуле (1) , то и (это значит, что уровни выше уровня Ферми не заняты; вероятность заполнения равна нулю);

Д ля (уровни ниже уровня Ферми обязательно заняты; вероятность заполнения равна единице).

При любых температурах, если , то ;

, ;

, .

Чем выше температура, тем шире переходной участок от до .

Свободные электроны в металлах ведут себя подобно молекулам идеального газа. Поэтому их называют электронным газом. Свойства электронного газа принципиально отличаются от свойств идеального газа. Электронный газ в металле называется вырожденным газом. Основным признаком вырождения является независимость энергии его частиц от температуры. Электронный газ в металле остается вырожденным, пока любой из электронов не может обмениваться энергией с кристаллической решеткой, ( - энергия тепловых колебаний решетки), т.е. газ невырожден.

Температура, ниже которой газ переходит из невырожденного состояния в вырожденное называется температурой вырождения или температурой Ферми:

.

Таким образом, при , т.е. , электронный газ называют вырожденным; , т.е. , электронный газ называют невырожденным.

Теплоемкость электронного газа

Средняя энергия теплового движения, равная , составляет при Т=300К . Такая энергия может возбудить только электроны, находящиеся на соседних с уровнем Ферми верхних уровнях. Основная масса электронов размещается на более глубоких уровнях и не будет поглощать энергию при нагревании. Таким образом, в процессе нагревания металла участвует незначительная часть электронов проводимости, чем и объясняется малая теплоемкость электронного газ в металлах. Формула теплоемкости электронного газа при постоянном объеме имеет вид:

.

Обозначив через , получим .

Имеем линейную зависимость от температуры.

Измерения электронной теплоемкости (теплоемкость электронного газа) являются одним из прямых методов определения зонной структуры твердых тел.