Элементарная классическая теория электропроводности металлов

Исходя из представлений о свободных электронах, Друде разработал классическую теорию электропроводности металлов, которая затем была усовершенствована Лоренцем.

Согласно этой теории в металлах кроме отрицательных зарядов должны существовать и положительные заряды.

Эти положительные заряды металла представляют собой ионы, образующие кристаллическую решетку металла.

Электроны проводимости, вследствие теплового движения, хаотически перемещаясь, испытывают соударения с ионами решетки. При наложении внешнего поля электроны совершают упорядоченное движение, противоположное внешнему полю. Это и есть электрический ток.

В теории Друде-Лоренца предполагается, что движение электронов подчиняется законам классической механики Ньютона. Взаимодействием электронов между собой в этой теории пренебрегают, а взаимодействие электронов с положительными ионами сводят только к соударениям. Иными словами, электроны проводимости в металлах рассматриваются как «электронный газ», подобный идеальному газу, подчиняющемуся законам статистики Максвелла – Больцмана.

Согласно закону распределения энергии по степеням свободы, средняя энергия хаотического движения электронов в металле равна

,

где - средняя квадратическая скорость электронов;

- масса электрона.

Отсюда .

Обозначив через среднюю длину свободного пробега электронов в металле, можно найти время свободного пробега электронов :

,

где - средняя скорость движения электронов в металле (величина ее близка к .

При включении поля на хаотическое тепловое движение электронов накладывается их упорядоченное движение с некоторой средней скоростью .

Величину этой скорости можно найти из формулы, связывающей плотность тока с числом носителей в единице объема , их зарядом и средней скоростью : .

Скорость упорядоченного движения зарядов во много раз меньше средней скорости теплового движения, поэтому в дальнейших расчетах модуль результирующей скорости можно заменить модулем скорости теплового движения .

Закон Ома в электронной теории металлов

Чтобы объяснить закон Ома с точки зрения электронной теории металлов и упростить расчеты, предположим, что при каждом соударении электрон передает решетке накопленную энергию полностью и поэтому, после соударения начинает движение без начальной скорости. Предположим так же, что при прохождении тока через проводник напряженность поля, создаваемого этим током, не изменяется.

На каждый электрон при движении действует сила . Под действием этой силы электрон приобретает ускорение .

Скорость электрона к концу свободного пробега равна

(аналог , , ).

Так как электрон между соударениями движется равноускоренно, то среднее значение его скорости равно половине максимального значения

.

Подставив в эту формулу вместо его выражение, получим

.

И, наконец, подставив найденное значение скорости в формулу для плотности тока, получим .

Как следует из этой формулы, плотность тока пропорциональна напряженности поля, а это, как знаем, выражается законом Ома

.

- удельная проводимость материала проводника или коэффициент электропроводности.

Следовательно, .

Если бы электроны не сталкивались с ионами решетки, длина свободного пробега, а, следовательно, и проводимость проводников, были бы бесконечно велики. Таким образом, электрическое сопротивление металлов обусловлено соударениями свободных электронов с ионами, помещающимися в узлах кристаллической решетки металла.

Закон Джоуля-Ленца в электронной теории металлов

К концу свободного пробега электронов их кинетическая энергия равна

.

Подставим вместо ее значение. Тогда

.

Заменив его выражением, получим

.

Столкнувшись с ионом, электрон полностью теряет приобретенную им за время пробега скорость, т.е. передает свою энергию кристаллической решетке. Эта энергия идет на увеличение внутренней энергии металла, проявляющейся в его нагревании.

Каждый электрон при своем движении претерпевает за секунду в среднем число соударений .

.

В единице объема за 1 секунду выделяется тепло

,

- число электронов в единице объема проводника.

Т.к. - удельная мощность тока, а в нашем случае и , то в формуле можно заменить на . Тогда

.

Обозначим через , тогда .

Это и есть закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме.

Закон Видемана-Франца

Из опыта известно, что металлы, обладающие более высокой электропроводностью, имеют и лучшую теплопроводность. Видеман и Франц в 1853г. становил закон, согласно которому отношение коэффициента теплопроводности к коэффициенту электропроводности для всех металлов одинаково и увеличивается пропорционально абсолютной температуре.

Электроны проводимости, перемещаясь в металле, переносят с собой не только электрический заряд, но и присущую им энергию беспорядочного теплового движения, т.е. осуществляют теплопередачу.

Рассматривая электроны как одноатомный газ, выражение для коэффициента теплопроводности можно записать как

(см. тему «Механика: явления переноса»),

здесь - плотность газа;

- масса электрона;

- число электронов в единице объема;

- удельная теплоемкость при постоянном объеме;

- средняя скорость теплового движения электронов;

- длина свободного пробега электронов.

Как нам известно, удельная теплоемкость одноатомного газа равна

.

Величина универсальной газовой постоянной связана с постоянной Больцмана соотношением .

С учетом этого , а .

Разделив на выражение , полученное нами при выводе закона Ома, имеем

.

Средняя энергия хаотического теплового движения электронов, как мы отмечали выше, равна .

Заменив через получим - закон Видемана-Франца.

Недостатки классической электронной теории проводимости металлов

Классическая электронная теория металлов смогла объяснить законы Ома, Джоуля-Ленца и дать качественное объяснение закона Видемана-Франца.

І. Вместе с тем согласие экспериментальных данных и теоретических расчетов для закона Видемана – Франца оказалось не очень хорошим. Лоренц уточнил расчеты, учтя распределение электронов по скоростям, и для отношения получил значение , которое согласуется с экспериментальными данными еще хуже. Это указывало на недостатки теории Друде-Лоренца.

ІІ. Второе затруднение теории Друде-Лоренца возникло при сопоставлении с опытом килограмм-атомной теплоемкости одновалентного металла. Согласно теории, килограмм-атомная теплоемкость металла должна складываться из теплоемкости ионной кристаллической решетки, равной , и теплоемкости электронного газа, равной .

У одновалентного металла , следовательно . Однако, опыт показывает, что килограмм- атомная теплоемкость металлов, как и других твердых тел, одинакова и равна (закон Дюлонга и Пти).

ІІІ. Третье затруднение классической электронной теории проводимости металлов заключается в невозможности правильно объяснить температурную зависимость электрического сопротивления.

Как мы уже знаем, электрическое сопротивление - это величина обратная коэффициенту электропроводности , т.е. . В формуле для в знаменателе стоит величина средней скорости теплового движения электронов . Следовательно, для это значение будет в числителе, а так как прямо пропорционально , то ~ .

Однако, как показывает опыт, ~ . Объяснение этим несоответствиям смогла дать лишь квантовая теория.

Несмотря на неспособность классической теории дать объяснение ряду явлений, она сохранила свое значение и до настоящего времени, потому что в случае малых концентраций свободных электронов (что имеет место в полупроводниках) она дает вполне удовлетворительные результаты. Вместе с тем, по сравнению с квантовой теорией, классическая теория обладает значительной простотой и наглядностью.