Концентрация носителей тока и их подвижность
При Т=0о К в полупроводнике нет свободных носителей заряда, все энергетические уровни валентной зоны заняты электронами, а энергетические уровни в зоне проводимости свободны.
Будем рассматривать процессы, в которых электроны располагаются на нижних уровнях зоны проводимости, на верхних уровнях валентной зоны и на локальных уровнях примеси в запрещенной зоне кристалла.
Вероятность заполнения электроном энергетического уровня определяется функцией Ферми
.
(1)
Вероятность того, что энергетический уровень занят дыркой
.
(2)
Концентрация свободных электронов в зоне проводимости
.
Концентрация дырок в валентной зоне
.
Здесь
-
плотность разрешенных состояний в зоне;
-
число состояний в интервале энергии от
до
.
Начало отсчета -
потолок валентной зоны.
Поскольку
вероятности заполнения уровней зоны
проводимости
и заполнения валентных уровней << 1,
то в формулах (1) и (2) можно пренебречь 1
по сравнению с экспонентой. Тогда
,
.
Эти выражения представляют собой функцию распределения Больцмана и выражают распределение частиц по энергиям.
При небольших концентрациях свободных электронов и дырок, с которыми мы имеем дело, в полупроводнике эти частицы образуют невырожденный электронный и дырочный газ.
При повышении температуры концентрация примесных носителей тока быстро достигает насыщения. Это означает, что практически освобождаются все донорные или заполняются электронами все акцепторные уровни. С ростом температуры сказывается собственная проводимость полупроводника, обусловленная переходом электронов из валентной зоны в зону проводимости. Таким образом, при высоких температурах проводимость полупроводника будет складываться из примесной и собственной проводимостей.
При низких температурах преобладает примесная, а при высоких – собственная проводимость.
Эффект Холла
Изучение свойств полупроводников заключается в определении знака и концентрации носителей заряда. Наиболее распространенным методом измерения концентрации и знака носителей заряда в проводнике является метод измерения напряжения Холла.
В
1880г. американский физик Э.Холл обнаружил
следующее явление: если
металлическую пластинку, вдоль которой
течет постоянный электрический ток,
поместить в перпендикулярное к ней
магнитное поле, то между параллельными
току и полю гранями возникнет разность
потенциалов.
Величина ее определяется выражением:
,
(1)
где i – сила тока;
- ширина пластины;
R – постоянная Холла (величина ее для различных металлов разная).
Эффект Холла можно объяснить следующим образом:
Ток в пластине
обусловлен упорядоченным движением
электрических зарядов е.
обозначив через
-
число зарядов в единице объема, а через
- среднюю скорость их упорядоченного
движения, силу тока можно выразить как
.
Откуда
,
(2)
где
- площадь поперечного сечения пластины.
Если заряды е
положительны,
то направления
и
совпадают. Если – отрицательны, то - не
совпадают.
На заряд, движущийся
в магнитном поле с индукцией В действует
сила Лоренца, в нашем случае равная
.
Так как
перпендикулярна
и
,
то заряды будут описывать криволинейные
траектории (см. рис.) и создавать на одной
пластине избыток, а на другой – недостаток
зарядов. На сторонах пластины возникает
разность потенциалов. В результате
этого возникнет поперечное электрическое
поле, направленное сверху вниз, если
заряды положительны и снизу вверх –
если они отрицательны.
Так как, в случае изображенном на рисунке, заряд е отрицателен, то, сила, действующая на заряд со стороны электрического поля еЕ будет направлена противоположно Е, то есть в нашем случае вниз.
В случае положительного заряда эта сила так же направлена противоположно силе Лоренца.
В установившемся
состоянии должно соблюдаться равенство
или
.
Откуда
.
Подставив вместо ее значение из формулы (2), получим
.
Если пластина достаточно длинная и широкая, то электрическое поле в ней можно считать однородным. Тогда
.
Сравнивая эту формулу с формулой (1). Получим
.
Как видно из этой формулы, знак константы Холла совпадает со знаком носителей тока е. поэтому на основании измерения константы Холла для полупроводников можно судить о характере проводимости (при электронной проводимости R<0, при дырочной R>0).
По измерению постоянной Холла можно найти концентрацию носителей тока (их число в единице объема).
Определив из
опытных данных константу Холла, можно
вычислить концентрацию носителей заряда
в проводнике. Если для образца известно
значение R
и удельной электропроводности
,
то для носителей одного знака их
подвижность равна
.
Эффект Холла широко используется в измерительной технике. Миниатюрные датчики Холла, сделанные из небольшой полупроводниковой пластинки с двумя электродами для подводки тока и с двумя другими- для измерения поперечной разности потенциалов, применяются для измерения таких величин, как сила тока через датчик, индукция и напряженность внешнего магнитного поля, ориентировка датчика относительно этого поля и т.д.
Кроме этого, эффект Холла используется во многих электро- и радиотехнических установках для модуляции электрических колебаний, преобразования токов, записи звуков, усиления постоянного и переменного токов и т.д.