Примеры решения задач по теме 4 «Магнетизм»

Задача 1 Ток силой 5 А течет по тонкому изогнутому проводнику (см. рисунок). Радиус изогнутой части проводника 120 мм, угол 2=90^о. Найти магнитную индукцию в точке О.

Решение

Индукция магнитного поля в точке О является векторной суммой индукций и , создаваемых током, протекающим по круговому и прямолинейному участкам проводника. Все элементы тока создают в точке О магнитные поля, векторы индукции которых направлены в одну сторону (перпендикулярно плоскости рисунка «от нас»  правило правого винта). Поэтому от векторной суммы можно перейти к алгебраической, т.е.

В=В₁+В₂. (1)

Используя (1.1) и (1.4), найдем В₁ и В₂:

, (2)

. (3)

Объединяя (1), (2) и (3) и подставляя числовые значения, получим

Ответ: В = 28 мкТл.

Задача 2 Сколько ампер-витков необходимо для получения индукции магнитного поля В=1,4 Тл в электромагните с тороидальным железным сердечником с длиной средней линии L=90 см и воздушным промежутком l_o =5 мм. Рассеянием магнитного потока в воздушном промежутке пренебречь.

Дано:

В=1,4 Тл L=90 см lo =5 мм	Решение Пренебрегая рассеянием магнитного потока в зазоре, можно принять, что индукция в зазоре равна индукции магнитного поля в сердечнике, т.е. Вn1=Вn2=В.
N∙I - ?

Для расчета необходимого числа ампер-витков воспользуемся теоремой о циркуляции вектора Н (т.к. имеется среда). Силовые линии магнитного поля в тороидальном сердечнике представляют собой окружности, лежащие внутри сердечника, поэтому в качестве контура интегрирования возьмем окружность L с радиусом средней линии тороида. Применение теоремы о циркуляции дает:

,

где Н₁  напряженность магнитного поля в сердечнике, Н₂  напряженность в зазоре (воздушном промежутке), I  сила тока в обмотке тороида, N  число витков обмотки, (IN)  число ампер-витков.

Учитывая, что для воздуха =1 найдем, что

Н₂=В/_о.

Величину Н₁ найдем по графику зависимости индукции в железе от напряженности В=(Н).

Н₁=1700 А/м (для В=1,4 Тл).

Теперь можно найти число ампер-витков

N∙I=17000,895+(1,4510^-3)/43,1410^-77100 А-витков.

Ответ: N∙I=7100 А-витков.

Задача 3 Проводник в виде тонкого полукольца радиусом 0,1 м находится в однородном магнитном поле с индукцией 0,05 Тл. По проводнику течёт ток 10 А. Найти силу, действующую на проводник, если плоскость полукольца перпендикулярна линиям индукции.

Решение

Разобьем проводник на элементы тока Idl (см. рисунок). Положение элемента тока на окружности будет определяться углом , причем dl = Rd. Со стороны магнитного поля на элемент тока действует сила Ампера

dF=IdlBSin, (1)

где  угол между элементом тока и магнитной индукцией, =90^о.

Разложим силу dF на две составляющие силы dF_y и dF_x:

dF_x=dFcos, dF_y=dFsin.

Заметим, что ввиду симметрии полукольца относительно оси Y проекция F_x будет равна нулю. Результирующая сила по оси Y будет отлична от нуля

. (2)

Подставим (1) в (2) и после интегрирования получим

= .

Подставим числовые значения:

Н.

Ответ: F = 0,1 Н.

Задача 4 Протон движется в магнитном поле с индукцией 10^-2 Тл по винтовой линии радиусом 2 см и шагом 5 см (см. рисунок). Определить величину скорости протона и угол её наклона к линиям индукции.

Решение

Заряженная частица движется в магнитном поле по винтовой линии, если она в него влетает под углом  к линиям индукции.

Разложим скорость на две составляющие _ и _

_=cos, (1)

_=sin. (2)

Радиус и шаг винтовой линии определяются величинами _ и _ соответственно.

, h=_T, .

Поделим (2) на (1) и из выражений для T и h найдем отношение составляющих скорости

Из последнего выражения определим угол наклона скорости  к оси X:

tg=23,14210^-2/510^-2=2,512, =68^o.

Скорость найдем как

м/с.

Ответ: =68^o;  = 2,0610⁴ м/с.

Задача 5 Квадратная рамка с током I = 1 А расположена в одной плоскости с длинным прямым проводником, по которому течёт ток I₀=5 А (см. рисунок). Сторона рамки а = 10 см. Проходящая через середины противоположных сторон ось рамки параллельна проводу и отстоит от него на расстоянии, которое в =1,5 раза больше стороны рамки. Найти силу, действующую на рамку, и работу, которую нужно совершить для поворота рамки вокруг её оси на 180, если токи поддерживают неизменными.

Решение

Error: Reference source not found

1) Сила, действующая на рамку:

Прямой длинный проводник с током I₀ создаёт вокруг себя неоднородное магнитное поле с индукцией B_о=_оI_o/2r. На каждую сторону квадратной рамки с током I будет действовать сила Ампера, направление которой можно определить по правилу левой руки.

Как видно из рисунка (при указанных направлениях тока в проводниках), l=a, =90 (sin  = 1), силы и противоположны по направлению и равны по величине

.

Следовательно, результирующая этих двух сил равна нулю.

Силы и противоположны по направлению, но не равны по величине

F₁ = I₀I₀a / (2a) = ₀I₀I / (2).

F₃ = I₀Ia / (22a) = ₀I₀I / (4).

Так как сила F₁ в два раза больше силы F₃, то результирующая этих сил будет совпадать по направлению с силой F₁, а по величине равна:

F = F₁ – F₃ = ₀I₀I / (2) – ₀I₀I / (4) = ₀I₀I / (4).

Подставим числовые значения

F = Н = 0,5 мкН.

2) Работа, совершаемая силами магнитного поля при повороте рамки с током I на 180:

А = I∙Ф = I∙(Ф_m2 – Ф_m1),

где Ф_m1 и Ф_m2 – магнитные потоки, пронизывающие рамку в начальном и конечном положениях. Так как магнитное поле проводника с током I_о неоднородное, сначала определим магнитный поток через элементарную площадку dS =adr, в пределах которой индукцию магнитного поля можно считать постоянной величиной

dФ_m = BdS cos ,

где  угол между направлением положительной нормали к рамке и вектором индукции , причем направление положительной нормали совпадает с направлением магнитного момента контура .

Полный магнитный поток сквозь рамку в начальном и конечном состояниях будет равен

.

.

Так как в начальном положении ₁ = 0, а в конечном ₂ = 180, то:

Ф_m = Ф_m2 – Ф_m1 = _оaI_о (ln 2)[-1-1]/(2) = –_оaI_о (ln 2)/,

и работа будет равна:

А = IФ = –_оaI_оI (ln 2)/ .

Подставим числовые значения:

А = Дж = –0,14 мкДж.

Знак ” –“ свидетельствует о том, что работа при повороте рамки совершается внешними силами.

Ответ: F = 0,5 мкН; А = – 0,14 мкДж.

Задача 6 На немагнитный цилиндрический каркас диаметром D=5 см навита обмотка, состоящая из одного слоя плотно прилегающих друг к другу витков медного провода диаметром d=0,2 мм. По обмотке течет ток I_о=5 А. Определить, какое количество электричества протечет по обмотке за время t=50 мкс с того момента, как концы обмотки будут замкнуты накоротко.