mat

12. Частичные пределы. Верхний и нижний пределы.

Предел (конечный и бесконечный) какой-либо подпоследовательности называется частичным пределом последней. Из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность (теорема Больцано — Вейерштрасса), а из всякой неограниченной — бесконечно большую. В множестве всех частичных П. последовательности всегда имеется как наибольший, так и наименьший (конечный или бесконечный). Наибольший (соответственно наименьший) частичный П. последовательности x_n, n = 1, 2,..., называют её верхним (соответственно нижним) пределом и обозначается    (соответственно   ). Например,

Последовательность имеет конечный или бесконечный П. тогда и только тогда, когда её верхний П. совпадает с нижним, при этом их общее значение и является её П. 

11. Подпоследовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса

Предел (конечный и бесконечный) какой-либо подпоследовательности называется частичным пределом последней. Из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность (теорема Больцано — Вейерштрасса),

15. Свойства пределов функции

1) Предел постоянной величины

Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:

2) Предел суммы

Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций:

Аналогично предел разности двух функций равен разности пределов этих функций.

Расширенное свойство предела суммы:

Предел суммы нескольких функций равен сумме пределов этих функций:

Аналогично предел разности нескольких функций равен разности пределов этих функций.

3) Предел произведения функции на постоянную величину

Постоянный коэффициэнт можно выносить за знак предела:

4) Предел произведения

Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций:

Расширенное свойство предела произведения

Предел произведения нескольких функций равен произведению пределов этих функций:

5) Предел частного

Предел частного двух функций равен отношению пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю:

14.Предел функции Коши и Гейне, эквивалентность

Предел функции в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке.

13. Критерий Коши сходимости последовательности

Определение. Подпоследовательность   называется последовательностью Коши или фундаментальной, если 

Теорема ( Критерий Коши ). Для того, чтобы последовательность {x_n} сходилась, необходимо и достаточно чтобы она была фундаментальной.

Доказательство:

Необходимость. Пусть {xn} сходится. 

Достаточность. Пусть {x_n} - фундаментальная последовательность. Докажем, что она ограничена и  .

Так как последовательность фундаментальна, то  , в  -окресности которой существуют все элементы x₁,x₂,x₃,...,x_{N − 1}.

Предположим, A = max{ | x₁ | , | x₂ | , | x₃ | ,..., | x_{N − 1} | , | x_n − ε | , | x_n + ε | }.

В отрезке [A, -A] содержатся все элементы последовательности, т.е. {x_n} - ограниченна.

В следствие теоремы Больцано-Вейерштрасса ( ) < (x_n − ε;x_n + ε).

 в силу произвольности 

9 . ББП И БМП их свойства

Бесконечно большая последовательность

Определение. Последовательность {x_n} называется бесконечно большой, если для любого положительного числа A можно указать номер N такой, что при  все элементы x_n этой последовательности удовлетворяют неравенству   

Любая бесконечно большая последовательность является неограниченной. Но не каждая неограниченная последовательность является бесконечно большой. Например, неограниченная последовательность 1, 2, 1, 3, ... 1, n, ... не является бесконечно большой, так как при A > 1 неравенство   не выполняется для x_n с нечетными номерами.

Бесконечно малая последовательность

Определение. Последовательность {x_n} называется бесконечные малой, если для любого положительного числа ε можно указать номер N такой, что при  все элементы x_n этой последовательности удовлетворяют неравенству   .

Любая бесконечно малая последовательность является ограниченной

1. Сумма двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство. Пусть α_n и β_n - бесконечно малые последовательности.

 ε > 0 N₁   :   n > N₁   ,   < 

 ε > 0 N₂   :   n > N₂   ,   < 

| α_n + β_n |   | α_n| +| β_n|

 ε > 0   N = max ( N₁  , N₂   ) :   n > N | α_n + β_n| < ε + ε = 

2. Разница двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

3. Бесконечно малая последовательность ограничена.

M = max { ε,| α₁ |, ..., | α_{N − 1} }

 n : | α_n|   M.

4. Произведение двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

5. Если все элементы бесконечно малой последовательности, начиная с некоторого номера, равны одному и тому же числу, то это число - ноль..

3. Принцип вложенных отрезков Коши—Кантора

Формулировка

Для всякой системы вложенных отрезков

существует хотя бы одна точка c, принадлежащая всем отрезкам данной системы.

Если, кроме того, длина отрезков системы стремится к нулю:

то c — единственная общая точка всех отрезков данной системы.

Доказательство

1) Существование общей точки. Множество левых концов отрезков {a_n} лежит на числовой прямой левее множества правых концов отрезков {b_n}, поскольку

В силу аксиомы непрерывности, существует точка c, разделяющая эти два множества, то есть

в частности

Последнее неравенство означает, что c — общая точка всех отрезков данной системы.

2) Единственность общей точки. Пусть длина отрезков системы стремится к нулю. Покажем, что существует только одна точка, принадлежащая всем отрезкам системы. Предположим противное: пусть имеется две различные точки c и c', принадлежащие всем отрезкам системы:

Тогда для всех номеров n выполняются неравенства:

В силу условия стремления к нулю длин отрезков для любого   для всех номеров n, начиная с некоторого будет выполняться неравенство

b_n − a_n < ε

Взяв в этом неравенстве  , получим

Противоречие. Лемма доказана полностью.

8. Свойства сход. последовательностей. Предельный переход под знаком неравнества.

числовая последовательность (x_n) называетсясходящейся, если

Если последовательность не является сходящейся, то ее называют расходящейся.

Если последовательности (x_n) и (y_n) действительных чисел сходятся и  , то

Теорема. Если элементы сходящейся последовательности {x_n}, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству x_n ≥ b(x_n ≤ b), то и предел a этой последовательности удовлетворяет неравенству a ≥ b (a ≤ b).

     Доказательство. Пусть все элементы x_n, по крайней мере начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству x_n ≥ b. Требуется доказать неравенство a ≥ b. Предположим, что a < b. Поскольку a - предел последовательности {x_n}, то для положительногоε = b - a можно указать номер N такой, что при n ≥ N выполняется неравенство |x_n - a| < b - a. Это неравенство эквивалентно следующим двум неравенствам: -(b - a) < x_n - a < b - a. Используя правое из этих неравенств, получим x_n < b, а это противоречит условию теоремы. Случай x_n ≤ b рассматривается аналогично. Теорема доказана.

4. Лемма о конечном покрытии (принцип Бореля — Лебега).

10. Критерий сходимости монотонной последовательности. Число е.(19б.)

Последовательность   элементов множества   называется неубывающей, если каждый элемент этой последовательности не превосходит следующего за ним.

Последовательность   элементов множества   называется невозрастающей, если каждый следующий элемент этой последовательности не превосходит предыдущего.

Последовательность   элементов множества   называется возрастающей, если каждый следующий элемент этой последовательности превышает предыдущий.

Последовательность   элементов множества   называется убывающей, если каждый элемент этой последовательности превышает следующий за ним.

Последовательность называется монотонной, если она является неубывающей, либо невозрастающей

Последовательность называется строго монотонной, если она является возрастающей, либо убывающей.

Свойства!

-Всякая неубывающая последовательность ограничена снизу.

-Всякая невозрастающая последовательность ограничена сверху.

-Всякая монотонная последовательность ограничена по крайней мере с одной стороны.

-Монотонная последовательность сходится тогда и только тогда, когда она ограничена с обеих сторон.(Теорема Вейерштрасса об ограниченных монотонных последовательностях)

Теорема. Если {x_n} - не убывает и ограничена сверху, то она сходится. Если {x_n} - не возрастает и ограничена снизу, то она сходится.

Доказательство. При выполнении условия теоремы последовательность x_n ограниченна.

В силу ограниченности  , 

1) Если последовательность не убывает, то 

2) Если последовательность не возрастает, то 

Рассмотрим первый случай.

Попределению sup  : 

Т.к. {x_n} не убывает, то при 

 при 

 при  .

Второй случай рассматривается аналогично.

5. Принцип Больцано-Вейерштрасса

39.Производные высших порядков от сложных и обратных функций.