mat

35. Производная обратной функции.

Если для функции y=f(x) существует обратная функция x=g(y), которая в некоторой точке у₀ имеет производную g '(v₀), отличную от нуля, то в соответствующей точке x₀=g(x₀) функция y=f(x) имеет производную f '(x₀), равную , т.е. справедлива формула .

Доказательство. Т.к. x=g(y) дифференцируема в точке y₀, то x=g(y) непрерывна в этой точке, поэтому функция y=f(x) непрерывна в точке x₀=g(y₀). Следовательно, при Δx→0 Δy→0.

Покажем, что .

Пусть . Тогда по свойству предела . Перейдем в этом равенстве к пределу при Δy→0. Тогда Δx→0 и α(Δx)→0, т.е. .

Следовательно,

,

что и требовалось доказать.

Эту формулу можно записать в виде .

36. Геометрический смысл производной и дифференциала.

Геометрический смысл производной

Рассмотрим график функции y = f(x), определенной и непрерывной на (a,b). Зафиксируем произвольную точку x на (a,b), и зададим приращение D x№ 0, причем x+D x О (a,b). Пусть точки M,P - точки на графике f(x), абсциссы которых равны x, x+D x (рис.21). Координаты точек M и P имеют вид M(x,f(x)), P(x+D x,f(x+D x). Прямую, проходящую через точки M, P графика функции f(x) будем называть секущей. Обозначим угол наклона секущей MP к оси ОX через f (D x).

Определение 3. Если существует предельное положение секущей MP при стремлении точки N к точке M вдоль графика функции при D x® 0), то это предельное положение называется касательной к графику функции f(x) в данной точке M этого графика.

Из данного определения следует, что для существования касательной к графику f(x) в точке M достаточно, чтобы существовал предел lim_{D x® 0}f (D x) = f ₀, который равен углу, образованному касательной с положительным направлением оси OX.

Справедливо утверждение:

Предложение 1. Если f(x) имеет в данной точке x производную, то существует касательная к графику функции f(x) в точке M( x,f(x)) , причем угловой коэффициент этой касательной равен производной f'(x).

Из этого утверждения вытекает геометрический смысл производной: производная f'(x₀) есть угловой коэффициент касательной, проведенной к кривой y = f(x) в точке x₀, который в свою очередь равен tg угла наклона касательной к графику функции.

Тогда уравнение касательной к кривой f(x) в точке x₀ имеет вид

y = f(x₀)+f'(x₀)(x-x₀)

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ДИФФЕРЕНЦИАЛА

Рассмотрим функцию y=f(x) и соответствующую ей кривую. Возьмем на кривой произвольную точку M(x; y), проведем касательную к кривой в этой точке и обозначим через α угол, который касательная образует с положительным направлением оси Ox. Дадим независимой переменной x приращение Δx, тогда функция получит приращение Δy = NM₁. Значениям x+Δx и y+Δy на кривой y = f(x) будет соответствовать точка

M₁(x+Δx; y+Δy).

Из ΔMNT находим NT=MN·tg α. Т.к. tg α = f '(x), а MN = Δx, то NT = f '(x)·Δx. Но по определению дифференциала dy=f '(x)·Δx, поэтому dy = NT.

Таким образом, дифференциал функции f(x), соответствующей данным значениям x и Δx, равен приращению ординаты касательной к кривой y=f(x) в данной точке х.

37. Производные основных элементарных функций.

y = xⁿ. Если n – целое положительное число, то, используя формулу бинома Ньютона:

(a + b)ⁿ = aⁿ+n·a^n-1·b + 1/2∙n(n – 1)a^n-2∙b²+ 1/(2∙3)∙n(n – 1)(n – 2)a^n-3b³+…+ bⁿ,

можно доказать, что

Итак, если x получает приращение Δx, то f(x+Δx) = (x + Δx)ⁿ, и, следовательно,

Δy=(x+Δx)ⁿ – xⁿ =n·x^n-1·Δx + 1/2·n·(n–1)·x^n-2·Δx² +…+Δxⁿ.

Заметим, что в каждом из пропущенных слагаемых есть множитель Δx в степени выше 3.

Найдем предел

Мы доказали эту формулу для n Î N. Далее увидим, что она справедлива и при любом n Î R.

y= sin x. Вновь воспользуемся определением производной.

Так как, f(x+Δx)=sin(x+Δx), то

Т аким образом,

Аналогично можно показать, что

Рассмотрим функцию y= ln x.

Имеем f(x+Δx)=ln(x+Δx). Поэтому

Итак,

Используя свойства логарифма можно показать, что

38. Производные высших порядков. Правила вычисления, правило Лейбница.

Пусть функция y=f(x) дифференцируема на некотором отрезке [a; b]. Значение производной f'(x), вообще говоря, зависит от x, т.е. производная f'(x) представляет собой тоже функцию переменной x. Пусть эта функция также имеет производную. Дифференцируя ее, получим так называемую вторую производную от функции f(x).

Производная от первой производной называется производной второго порядка или второй производной от данной функции y=f(x) и обозначается y''или f''(x). Итак, y'' = (y')'.

Например, если у = х⁵, то y'= 5x⁴, а y''= 20x⁴.

Аналогично, в свою очередь, производную второго порядка тоже можно дифференцировать. Производная от второй производной называется производной третьего порядка или третьей производной и обозначается y'''или f'''(x).

Вообще, производной n-го порядка от функции f(x) называется производная (первая) от производной (n – 1)-го порядка и обозначается символом y⁽ⁿ⁾ или f⁽ⁿ⁾(x): y⁽ⁿ⁾ = (y^(n-1))'.

Таким образом, для нахождения производной высшего порядка от данной функции последовательно находят все ее производные низших порядков.

40. Дифференцирование параметрически заданных функций.

41. Дифференциалы высших порядков. Нарушение инвариантности формы.

Пусть имеем функцию y=f(x), где x – независимая переменная. Тогда дифференциал этой функции dy=f'(x)dx также зависит от переменной x, причем от x зависит только первый сомножитель f'(x) , а dx = Δx от x не зависит (приращение в данной точке x можно выбирать независимо от этой точки). Рассматривая dy как функцию x, мы можем найти дифференциал этой функции.

Дифференциал от дифференциала данной функции y=f(x) называется вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка этой функции и обозначается d²y: d(dy)=d²y.

Найдем выражение второго дифференциала. Т.к. dx от x не зависит, то при нахождении производной его можно считать постоянным, поэтому

d²y = d(dy) = d[f '(x)dx)] = [f '(x)dx]'dx = f ''(x)dx·dx = f ''(x)(dx)².

Принято записывать (dx)² = dx². Итак, d²у= f''(x)dx².

Аналогично третьим дифференциалом или дифференциалом третьего порядка функции называется дифференциал от ее второго дифференциала:

d³y=d(d²y)=[f ''(x)dx²]'dx=f '''(x)dx³.

Вообще дифференциалом n-го порядка называется первый дифференциал от дифференциала (n – 1)-го порядка: dⁿ(y)=d(d^n-1y)

dⁿy = f ⁽ⁿ⁾(x)dxⁿ

Отсюда, пользуясь дифференциалами различных порядков, производную любого порядка можно представить как отношение дифференциалов соответствующего порядка:

Неинвариантность дифференциалов высшего порядка

При    , -й дифференциал не инвариантен (в отличие от инвариантности первого дифференциала), то есть выражение зависит, вообще говоря, от того, рассматривается ли переменная как независимая, либо как некоторая промежуточная функция другого переменного, например, x = φ(t).

Для доказательства неинвариантности дифференциалов высшего порядка достаточно привести пример. При n = 2 и    :

если    — независимая переменная, то  

если     и  

при этом,     и  

С учётом зависимости , уже второй дифференциал не обладает свойством инвариантности при замене переменной. Также не инвариантны дифференциалы порядков 3 и выше.

42. Теорема Ферма

43. Теорема Ролля

44. Формула конечных приращений Лагранжа.

Формула конечных приращений или теорема Лагра́нжа о среднем значении утверждает, что если функция f непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема в интервале (a;b), то найдётся такая точка , что

.

Геометрически это можно переформулировать так: на отрезке [a;b] найдётся точка, в которой касательная параллельна хорде, проходящей через точки графика, соответствующие концам отрезка.

Механическое истолкование: Пусть f(t) — расстояние точки в момент t от начального положения. Тогда f(b) − f(a) есть путь, пройденный с момента t = a до момента t = b, отношение  — средняя скорость за этот промежуток.

Доказательство

Для функции одной переменной:

Введем функцию . Для нее выполнены условия теоремы Ролля: на концах отрезка ее значения равны f(a). Воспользовавшись упомянутой теоремой, получим, что существует точка c, в которой производная функции F равна нулю:

что и требовалось доказать.

45. Теорема Коши.

Пусть даны две функции и такие, что:

и определены и непрерывны на отрезке ;

производные и конечны на интервале

производные и не обращаются в нуль одновременно на интервале

;

тогда

, где

Доказательство

Для доказательства введём функцию

Для неё выполнены условия теоремы Ролля: на концах отрезка её значения равны f(a). Воспользовавшись упомянутой теоремой, получим, что существует точка c, в которой производная функции F равна нулю, а равна как раз необходимому числу.

46. Правило Лопиталя раскрытия неопределенности 0/0

Точная формулировка

Условия:

или ;

и дифференцируемы в проколотой окрестности ;

в проколотой окрестности ;

существует ,

тогда существует .

Пределы также могут быть односторонними.

Отношение бесконечно малых

Докажем теорему для случая, когда пределы функций равны нулю (то есть неопределённость вида ).

Поскольку мы рассматриваем функции f и g только в правой проколотой полуокрестности точки a, мы можем непрерывным образом их доопределить в этой точке: пусть f(a) = g(a) = 0. Возьмём некоторый x из рассматриваемой полуокрестности и применим к отрезку теорему Коши. По этой теореме получим:

,

но f(a) = g(a) = 0, поэтому .

Дальше, записав определение предела отношения производных и обозначив последний через A, из полученного равенства выводим:

для конечного предела и

для бесконечного,

что является определением предела отношения функций.

47. Правило Лопиталя для раскрытия неопределенности ∞/∞

Точная формулировка

Условия:

или ;

и дифференцируемы в проколотой окрестности ;

в проколотой окрестности ;

существует ,

Докажем теорему для неопределённостей вида .

Пусть, для начала, предел отношения производных конечен и равен A. Тогда, при стремлении x к a справа, это отношение можно записать как A + α, где α — O(1). Запишем это условие:

.

Зафиксируем t из отрезка и применим теорему Коши ко всем x из отрезка :

, что можно привести к следующему виду:

.

Для x, достаточно близких к a, выражение имеет смысл; предел первого множителя правой части равен единице (так как f(t) и g(t) — константы, а f(x) и g(x) стремятся к бесконечности). Значит, этот множитель равен 1 + β, где β — бесконечно малая функция при стремлении x к a справа. Выпишем определение этого факта, используя то же значение ε, что и в определении для α:

.

Получили, что отношение функций представимо в виде (1 + β)(A + α), и . По любому данному ε можно найти такое ε₁, чтобы модуль разности отношения функций и A был меньше ε, значит, предел отношения функций действительно равен A.

Если же предел A бесконечен (допустим, он равен плюс бесконечности), то

.

В определении β будем брать ; первый множитель правой части будет больше 1/2 при x, достаточно близких к a, а тогда .

4 8. Локальная формула Тейлора. Остаточный член в форме Пеано.

Пусть  -- остаток в формуле Тейлора для функции в точке , и функция имеет непрерывную -ю производную. Тогда  -- бесконечно малая величина того же или большего порядка малости, как , при . (Остаточный член , о котором известны эти сведения о порядке малости, называется остаточным членом в форме Пеано.)

Остаточный член в форме Пеано: В форме Пеано:

при

   Доказательство.     Утверждение теоремы означает, что существует

П ри остаток будет иметь тот же порядок малости, что , а при  -- больший порядок малости. Итак, вычислим предел:

Применим к этому пределу правило Лопиталя, повторив этот приём раз:

51. Условия монотонности функции.

52. Экстремум функции. Необходимое условие экстремума.

Пусть дана функция и  — внутренняя точка области определения f. Тогда

x₀ называется точкой локального максимума функции f, если существует проколотая окрестность такая, что

x₀ называется точкой локального минимума функции f, если существует проколотая окрестность такая, что

Если неравенства выше строгие, то x₀ называется точкой строгого локального максимума или минимума соответственно.

x₀ называется точкой абсолютного (глобального) максимума, если

x₀ называется точкой абсолютного минимума, если

Значение функции f(x₀) называют (строгим) (локальным) максимумом или минимумом в зависимости от ситуации. Точки, являющиеся точками (локального) максимума или минимума, называются точками (локального) экстремума.

Следующая теорема даёт необходимое условие того, чтобы точка была точкой локального экстремума функции .

        Теорема 7.4   Если точка  -- это точка локального экстремума функции , определенной в некоторой окрестности точки х0, и существует производная в этой точке , то .

Доказательство этой теоремы сразу же следует из теоремы Ферма (см. гл. 5).    

Утверждение теоремы можно переформулировать так:

если функция имеет локальный экстремум в точке , то либо 1) , либо 2) производная не существует.

Точка называется критической точкой функции , если непрерывна в этой точке и либо , либо не существует. В первом случае (то есть при ) точка называется также стационарной точкой функции .

Итак, локальный экстремум функции может наблюдаться лишь в одной из критических точек этой функции.

54. Достаточное условие экстремума, использующее высшие производные.

Пусть  -- стационарная точка функции , и в этой точке существует вторая производная , причём . Тогда при точка есть точка локального максимума, а при  -- локального минимума.

        Доказательство.     Поскольку , то по определению производной

Пусть . Тогда из существования предела следует, что для любого из некоторой достаточно малой проколотой окрестности точки выполняется то же неравенство для допредельного выражения, то есть

при . Поскольку, по предположению теоремы,  -- стационарная точка, то , откуда , то есть имеет знак, противоположный знаку : при и при . Остаётся лишь применить теперь предыдущую теорему, из которой следует, что  -- точка локального максимума.

Доказательство для случая совершенно аналогично.     

55,56. Условия выпуклости и точки перегиба графика функции.

Точка перегиба функции внутренняя точка x₀ области определения f, такая что f непрерывна в этой точке, существует конечная или определенного знака бесконечная производная в этой точке, и x₀ является одновременно концом интервала строгой выпуклости вверх и началом интервала строгой выпуклости вниз, или наоборот.

Необходимое условие существования точки перегиба: если функция f(x), дважды дифференцируемая в некоторой окрестности точки x₀, имеет в x₀ точку перегиба, то .

Первое достаточное условие существования точки перегиба: если функция f(x) в некоторой окрестности точки x k раз непрерывно дифференцируема, причем k нечётно и , и при , а , то функция f(x) имеет в x₀ точку перегиба.

Второе достаточное условие существования точки перегиба: Если в некоторой точке вторая производная функции равна нулю, а третья не равна нулю, то эта точка является точкой перегиба.

56. Вертикальные и наклонные асимптоты.

Асимптотой графика функции  называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки  до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

Прямая x = a называется вертикальной асимптотой графика функции f (x) при x → a, если выполнено хотя бы одно из условий

Прямая y = b называется горизонтальной асимптотой графика функции f (x) при x → +∞, если

Прямая y = kx + b, k ≠ 0 называется наклонной асимптотой графика функции f (x) при x → +∞, если Аналогично определяются горизонтальная и наклонная асимптоты при x → –∞.

Для того, чтобы прямая y = kx + b была асимптотой графика функции y = f (x) при x → +∞, необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы

53. Достаточное условие экстремума, использующее первую производную.

Пусть в точке  функция  непрерывна, а производная  при переходе через точку  меняет знак. Тогда  – точка экстремума: максимума, если знак меняется с «+» на «–», и минимума, если с «–» на «+».

Доказательство. Пусть  при  и  при .

По теореме Лагранжа , где .Тогда если , то ; поэтому  и , следовательно, , или . Если же , то ; поэтому  и , следовательно,  или .

Таким образом доказано, что  в любых точках вблизи , т.е.  – точка максимума функции .

Доказательство теоремы для точки минимума проводится аналогично. Теорема доказана.

Если при переходе через точку  производная не меняет знак, то в точке  экстремума нет.