8. Виды трендов, их уравнения и свойства

Самым простым типом тренда является прямая линия, которая описывается линейным уравнением тренда

У t = а + вt

где уt – это лишенные колебаний уровни тренда для лет с номером t,

а – это свободный член уравнения численно равный среднему выровненному уровню для момента или периода времени, принятого за начало отчета, для t=о, в – средняя величина изменения уровня ряда за единицу изменения времени.

Основные свойства для данного тренда:

1. равные изменения за равные промежутки времени

2. если средний абсолютный прирост (в) – величина положительная, то темпы прироста постепенно уменьшаются

3. если в меньше 0, то темпы постепенно увеличиваются по абсолютной величине снижения предыдущего уровня

4. если наблюдается тендеция сокращения уровня, а изучаемые величины являются положительными, то средние изменения (в) не может быть больше среднего уровня (а).

5. при линейном тренде ускорение т.е. разность абсолютных изменений за последовательный периоды = 0.

Параболический тренд

Рассмотрим наиболее простую параболу второго порядка:

Уt = а + вt +сt²

Показатели динамики для тренда

Уt = 100 + 20t + 2tt

№ периода	Уровень Уt	Абсолютное изменение	Цепные темпы, %	ускорение
1	122	22	122	-
2	148	26	121,3	4
3	178	30	120,3	4
4	212	34	119,1	4
5	250	38	117,9	4
6	292	42	116,8	4

Основные свойства:

1. неравные, но равномерно возрастающие или равномерно убывающие абсолютные изменения за равные промежутки времени

2. парабола имеет 2 ветви математической формы.

3. Т.к. параметры (а), как значения показателей в начальный момент времени, как правило величина положительная, то характер тренда определяется знаками параметра в и с, если в больше 0 и с больше 0, ветвь восходящая; если в меньше 0 и с меньше 0, нисходящая; в больше 0, а с меньше 0, либо восходящая ветвь с замедленным ростом уровней, либо обе ветви; если в меньше 0, а с больше 0, имеем либо нисходящую ветвь с замедленным сокращением уровней, либо обе ветви.

В зависимости от соотношений между параметрами тренда цепные темпы прироста могут либо уменьшатся, либо некоторое время возрастать, но при достаточно длительном периоде темпы роста обязательно начнут уменьшаться.

Гиперболический тренд

Уt = а + в/t

Если в>0, то данный тренд выражает тенденцию замедленного снижения уровней и при t стремящемся к + бесконечности, а Уt стремится к (а), таким образом свободный член гиперболы (а) это придел к которому стремится уровень тренда.

Показатели динамики при гиперболическом тренде

Уt = 100 + 100 / t

Номер периода	Уровень Уt	Абсолютное изменение	Цепные темпы, %	Ускорение
1	200	-	-	-
2	150	-50	75	-
3	133	-17	88,6	33
4	125	-8	93,9	9
5	120	-5	96	3
6	117	-3	97,5	2

Свойства:

1. абсолютный прирост или сокращение уровней, ускорение абсолютных изменений, темп изменения, все эти показатели не являются постоянными

2. при в > 0, уровни замедленно уменьшаются, отрицательные абсолютные изменения и положительные ускорения уменьшаются, цепные темпы изменения растут и приближаются к 100 %.