4 семестp / Методы / Измерения_2 / Izmereniya_2
.pdfРешение. Коммутатор операторов |
ˆ |
ˆ |
имеет вид |
|
Lx и Ly |
||||
ˆ ˆ |
ˆ ˆ |
|
ˆ ˆ |
|
[Lx , Ly ]= |
Lx Ly − |
Ly Lx |
|
|
С учетом явного вида операторов (2.5) имеем
ˆ |
|
ˆ |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
∂ |
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
∂ |
|
|||||||||
[Lx , Ly] = − ! |
|
y |
|
|
− |
z |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
− |
x |
|
|
|
− |
z |
|
|
|
− |
x |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
∂ z |
|
|
∂ y |
|
∂ x |
∂ |
|
∂ |
x |
∂ |
|
|
∂ z |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|||||||||||||||||||||||
= − ! |
2 |
|
y |
∂ |
+ yz |
|
∂ 2 |
|
− yx |
|
∂ 2 |
|
− |
z |
2 ∂ 2 |
+ |
zx |
|
∂ 2 |
|
− zy |
|
∂ |
2 |
|
|
|
+ |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
∂ x |
∂ z∂ |
|
x |
|
∂ |
z |
2 |
|
|
∂ y∂ x |
∂ y∂ z |
|
∂ x∂ |
z |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
∂ 2 |
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
∂ |
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
+ |
xy |
|
∂ z |
2 |
− x |
|
∂ |
y |
|
− |
|
xz |
∂ z∂ |
|
|
= − |
! |
|
y |
|
∂ x |
− |
x |
∂ y |
|
|
= i!Lz . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
∂ |
|
|
||
− |
z |
|
|
= |
|||
∂ |
|
||||||
|
|
|
y |
|
|||
z |
2 ∂ |
2 |
|
+ |
|||
|
∂ x∂ y |
|
|||||
|
|
|
|||||
Точно также можно получить коммутационные соотношения для других пар операторов проекций момента импульса:
ˆ ˆ |
ˆ |
ˆ ˆ |
ˆ |
[Ly , Lz ]= |
i!Lx ; |
[Lz , Lx ]= |
i!Ly . |
Вывод: три проекции момента импульса Lx, Ly, Lz не могут быть одновременно точно измерены.
Задача 8. Докажите, что оператор квадрата момента импульса ˆ2 ком-
L
мутирует с операторами |
ˆ |
ˆ |
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
Lx , |
Ly и |
Lz . |
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. По определению оператора |
ˆ2 |
|
||||||||
L |
|
|
||||||||
|
|
|
ˆ2 |
ˆ2 |
|
ˆ2 |
+ |
ˆ2 |
|
|
|
|
L = |
Lx + |
Ly |
Lz . |
|
||||
Следовательно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ2 ˆ |
ˆ2 |
ˆ |
ˆ2 |
ˆ |
|
ˆ2 |
ˆ |
|
(3.8) |
|
[L , Lx ]= |
[Lx , Lx ]+ |
[Ly , Lx ]+ |
[Lz |
, Lx ] |
|
|||||
Для первого слагаемого в (3.8) находим |
|
|
|
|
||||||
|
ˆ2 |
ˆ |
ˆ2 ˆ |
|
ˆ ˆ2 |
= |
ˆ3 |
− |
ˆ3 |
|
|
[Lx , Lx ]= |
Lx Lx − |
Lx Lx |
Lx |
Lx = 0 . |
|||||
Второе и третье слагаемое в (3.8) преобразуем, воспользовавшись коммутационными соотношениями, полученными в задаче 7:
ˆ ˆ |
ˆ |
ˆ ˆ |
ˆ |
[Ly , Lx ]= − i!Lz ; |
[Lz , Lx ]= |
i!Ly . |
|
С учетом этих соотношений
21
|
ˆ2 |
ˆ |
|
|
ˆ2 |
ˆ |
ˆ ˆ2 |
= |
ˆ ˆ ˆ |
− |
ˆ ˆ ˆ |
+ |
[Ly , Lx ]= |
|
Ly Lx − |
Lx Ly |
Ly Ly Lx |
Ly Lx Ly |
|||||||
= |
ˆ |
|
ˆ |
|
ˆ |
ˆ |
ˆ ˆ |
ˆ |
ˆ |
ˆ ˆ |
|
|
Ly [Ly , Lx] + [Ly |
, Lx] Ly |
= − i!(Ly Lz + Lz Ly ), |
||||||||||
|
ˆ2 |
|
ˆ |
= |
ˆ2 |
ˆ |
ˆ ˆ2 |
= |
ˆ ˆ ˆ |
− |
ˆ ˆ ˆ |
+ |
|
[Lz |
, Lx ] |
Lz Lx − |
Lx Lz |
Lz Lz Lx |
Lz Lx Lz |
||||||
|
|
ˆ |
ˆ |
|
ˆ |
ˆ |
ˆ |
ˆ |
ˆ |
ˆ |
ˆ ˆ |
|
|
= Lz |
[Lz |
, Lx] |
+ [Lz , Lx] Lz = i!(Lz Ly |
+ Ly Lz). |
|||||||
ˆ ˆ ˆ −
Ly Lx Ly
ˆ ˆ ˆ −
Lz Lx Lz
ˆ ˆ ˆ =
Lx Ly Ly
ˆ ˆ ˆ =
Lx Lz Lz
Подставляя полученные выражения в (3.8), получаем
|
|
|
|
ˆ2 ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
[L , Lx ]= 0 |
|
|
|
то есть оператор |
ˆ2 |
коммутирует с оператором |
ˆ |
|
|
||
L |
Lx . |
|
|
||||
|
Аналогично доказывается коммутативность оператора |
ˆ2 |
с оператора- |
||||
|
L |
||||||
ми |
ˆ |
ˆ |
|
|
|
|
|
Ly и |
Lz . |
|
|
|
|
|
|
Вывод: квадрат момента импульса может быть одновременно точно измерен
только с одной из его проекций. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
коммутирует |
|||||||
Задача 9. Докажите, что оператор квадрата импульса |
p |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
2 |
|
с оператором квадрата момента импульса |
|
ˆ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
L . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Решение. В сферической системе координат |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
pˆ |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
= − ! |
|
∆ = − |
! |
|
∆ r + |
|
|
|
∆ |
θ ,ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
r |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
ˆ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
= |
|
− ! |
2 |
∆ θ |
,ϕ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
ˆ2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
[p |
, L ] |
= |
! |
|
|
[∆ |
r , ∆ |
θ ,ϕ ] |
+ |
|
|
2 |
[∆ θ ,ϕ , ∆ |
θ ,ϕ ] . |
|
|
|
|
|||||||||||
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
В этом выражении коммутатор [∆ |
θ |
ϕ, ,∆ |
θ ϕ |
, |
] =∆ |
θ ϕ |
2 |
, |
∆− |
θ ϕ |
2 |
, = |
0 . |
|
|
|
|||||||||||||
Также равен нулю и коммутатор [∆ |
r ,∆ |
θ ϕ, |
|
] =∆ |
|
∆ |
|
r |
θ ϕ |
, ∆ − |
|
θ∆ϕ |
, r= |
|
0 , так как опе- |
||||||||||||||
раторы ∆ r и ∆ θ ,ϕ содержат дифференциальные операции по разным перемен-
ным, и результат их последовательного действия на волновую функцию не
зависит от порядка их следования. Тем самым мы доказали, что |
|
2 |
ˆ2 |
]= 0 . |
[p |
, L |
|||
|
ˆ |
|
|
|
Равенство нулю этого коммутатора означает, что квадрат импульса и квадрат момента импульса могут быть измерены одновременно точно.
22
23
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Врунов П.А., Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. Операторы в квантовой механике. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 1994, 40 с.
2.Чертов А.Г., Воробьев А.А. Задачник по физике. М.: Высш. шк., 1988, 527 с.
3.Иродов И.Е. Задачи по общей физике. М.: ЗАО “Изд-во БИНОМ”, 1998, 448 с.
4.Иродов И.Е. Задачи по квантовой физике. М.: Высш. шк., 1991, 175 с.
5.Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики. М.: Высш. шк., 1961, 512 с.
6.Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Краткий курс теоретической физики . Кн. 2. Квантовая механика. М.: Наука, 1972, 367 с.
24
|
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
1. Постулаты квантовой мехаки.......................................................... |
3 |
|
2. |
Представление физических величин операторами.......................... |
6 |
3. |
Примеры решения задач...................................................................... |
10 |
Список литературы.................................................................................... |
24 |
|
25