Добавил:

Studfiles Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный технический университет им. H.Э.Баумана

Предмет:

Физика

Файл:

Izmereniya_2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.04.2014

Размер:

225.45 Кб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана

Л.К.Мартинсон, Е.В.Смирнов

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

ПО КУРСУ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ

РАЗДЕЛ “ИЗМЕРЕНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН В КВАНТОВЫХ СИСТЕМАХ”

Под редакцией Л.К.Мартинсона

Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана

2001

Рецензент:

Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. Методические указания к решению задач по курсу общей физики: Раздел “Измерение физических величин в квантовых системах”/Под ред. Л.К.Мартинсона. - М.: Изд-во МГТУ им.

Н.Э.Баумана, 200_, ____ с.

Содержится краткий обзор основных понятий и соотношений теории, необходимых для решения задач по одному из разделов квантовой механики. Изложена методика решения типовых задач.

Для студентов II курса всех специальностей.

I. ПОСТУЛАТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

Квантовая механика принципиально отличается от классической механики в подходе к вопросу о результатах измерения физических величин в квантовых системах.

Прежде всего, в квантовой механике физическая величина может иметь дискретный спектр значений, тогда как в классической механике все физические величины изменяются непрерывно.

Кроме того, результаты измерения в квантовой системе имеют вероятностный характер. Это означает, что в общем случае в процессе измерения наблюдаемой физической величины в квантовой системе с определенной вероятностью может реализоваться одно из нескольких возможных значений этой величины. Говорят, что в таком квантовом состоянии физическая величина не имеет определенного значения. В этом случае, зная волновую функцию, описывающую квантовое состояние, мы должны уметь предсказывать среднее значение наблюдаемой физической величины, полученное из ряда измерений.

Такой подход к вопросу о результатах измерения наблюдаемых физических величин в квантовой механике базируется на представлении физических величин операторами и разработке адекватного математического аппарата.

Сформулируем основные постулаты квантовой механики:

I. Каждому состоянию квантовой системы соответствует волновая функция Ψ (x, y, z, t), определяющая это состояние. Волновая функция нахо-

дится из решения уравнения Шредингера.

II. Каждой наблюдаемой физической величине f в квантовой механике ставится в соответствие некоторый линейный самосопряженный (эрмитов)

оператор Φˆ , действие которого на волновую функцию задается при его оп-

ределении. Соотношения между квантовомеханическими операторами аналогичны соотношениям, связывающим в классической механике соответствующие физические величины.

III. Единственным возможным результатом измерения наблюдаемой физической величины f может быть только собственное значение fn соответ-

ствующего ей оператора Φˆ .

Собственные значения оператора Φˆ находятся из решения уравнения

Φˆ Ψ n = fn Ψ n .	(1.1)
Это уравнение имеет набор собственных функций Ψ	n и собственных значе-

ний fn. В случае дискретного спектра физической величины этот набор представляет собой счетное множество (n=1, 2, ...).

Система собственных функций оператора любой физической величины представляет собой полную ортонормированную систему функций. Поэтому любую волновую функцию Ψ всегда можно разложить в ряд по таким собст-

венным функциям:
Ψ = ∑ CΨn	n ,	(1.2)
n
причем коэффициенты этого разложения можно определить по формуле
C n = ∫ Ψ Ψn	dV .	(1.3)
R N
Здесь интегрирование ведется по всей области RN изменения пространствен-
ных переменных размерности N. При использовании декартовой системы
координат в одномерных задачах dV=dx для N=1, в двумерных		задачах
dV=dxdy для N=2 и в трехмерных задачах dV=dxdydz для N=3.
Если для некоторого квантового состояния волновая функция Ψ		не яв-

ляется собственной функцией оператора Φˆ , то в этом квантовом состоянии физическая величина f не имеет определенного значения. Вероятность Pn то-

го, что при измерении физической величины f в этом квантовом состоянии будет получено численное значение fn, находится по формуле

P	=	C	n	2	,	(1.4)

n

а среднее значение (математическое ожидание) физической величины по результатам большого числа измерений можно определить как

f = ∑	Pn fn = ∫ Ψ (Φˆ Ψ )dV .	(1.5)
n	RN

Необходимым и достаточным условием возможности одновременного точного измерения двух физических величин a и b является коммутатив-

ность соответствующих им операторов			ˆ	ˆ
			A и	B , то есть выполнение равенства
ˆ	ˆ	ˆ ˆ	ˆ ˆ	0 .	(1.6)
[A, B]≡		AB −	BA =
ˆ ˆ	двух операторов не равен нулю, то соответ-
Если же коммутатор [A, B]

ствующие им две физические величины не могут быть измерены одновременно и точно. Для таких физических величин справедливы соотношения неопределенностей вида ∆ a∆ b > 0, утверждающие что обе неопределенно-

сти ∆ a и ∆ b не могут одновременно стремиться к нулю.

II. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН ОПЕРАТОРАМИ

Приведем выражения для операторов основных физических величин квантовой механики:

Операторы координат. Действие этих операторов на волновую функцию сводится к умножению ее на координату. В операторной форме это можно записать в виде равенств

xˆ = x , yˆ = y , zˆ = z .

(2.1)

Отметим, что операторами умножения на соответствующие координаты являются также операторы координат в цилиндрической и сферической системах координат.

Операторы проекций импульса. Эти операторы связаны с дифференцированием по соответствующим координатам, причем

∂

∂ x

∂ y

∂ z .

(2.2)

px = − i

py = − i

pz = − i

Используя известное соотношение классической механики, можно построить оператор квадрата импульса по правилу

)

∂

(2.3)

−

( p

∂

или, используя оператор Лапласа,

−

∆ .

(2.4)

Операторы проекций момента импульса. С использованием классической

формулы для момента импульса материальной точки	"	" "
	L = [r, p] , можно по-

строить операторы проекций момента импульса по правилам

∂

= yˆpˆ z −

zˆpˆ y

= − i!

∂ z

−

∂

= zpˆˆ x −

xpˆ ˆ z = − i!

∂ x

−

∂

(2.5)

∂

= xˆpˆ y −

yˆpˆ x

= − i!

∂ y

−

∂

В сферической системе координат

∂

− i! sinϕ

∂θ

ctgθ

cosϕ

∂ϕ

∂

− i! cosϕ

∂θ

−

ctgθ

sinϕ

∂ϕ

− i!

∂

∂ϕ

Оператор Lz имеет дискретный спектр собственных значений

= mh, где m=0, ±

1, ± 2, ...

каждому из которых соответствует собственная функция

m (ϕ ) =

eimϕ

2π

Эти собственные функции ортонормированы, так что

2π

ecли n =

∫ Ψ

n(ϕ

)

ϕd

m (ϕΨ)

ecли n ≠

Для оператора квадрата момента импульса

∂

ˆ2

= Lx

Ly +

= − !

∂ y

−

∂

(2.9)

∂

−

∂

− x

∂

∂ z

∂ x

∂

В сферической системе координат оператор Лапласа

∆

= ∆

∆

Θ ,ϕ

может быть записан с выделением его радиальной части

(2.6)

(2.7)

(2.8)

∆ r

∂

2 ∂

∂

и угловой части

∂

∂ 2

∆ θ ,ϕ

sinθ

∂θ

sin

∂ϕ

В таких обозначениях оператор квадрата момента импульса в сфериче-

ской системе координат преобразуется к виду

ˆ2

∆

θ ,ϕ .

(2.10)

L =

− !

Спектр собственных значений оператора

ˆ2

является дискретным

= !2l(l +

1) ,

l=0, 1, 2, ....

(2.11)

причем каждому собственному значению с заданным значением l соответст-

вуют (2l + 1) собственных функций Ψ lm=Ylm(Θ ,ϕ ), отличающихся значениями целочисленного параметра m=0, ± 1, ± 2, ..., ± l. Каждому значению m соответ-

ствуют определенные значения проекции момента импульса Lz, которые определяются формулой (2.7).

Функции Ylm(Θ ,ϕ ) называются шаровыми или сферическими функция-

ми. Приведем явный вид нескольких первых нормированных сферических

функций:
Y0,0 =	1	,	Y1,0	=	3 cosθ , Y1,±	1 =	3	sin θ e± iϕ .	(2.12)
	4π				4π		8π
Эти функции нормированы условием
			2π	π
			∫	∫Yl,*mYl,m sin θ dθ dϕ		=	1.
			0	0

Операторы энергий.

Оператор кинетической энергии определим, пользуясь классической формулой связи кинетической энергии частицы массы m0 и ее квадрата им-

пульса: EK =	p2	. Аналогичное соотношение связывает операторы в кван-
пульса: EK =	2m0	. Аналогичное соотношение связывает операторы в кван-
	2m0
товой механике. Поэтому, с учетом (2.4), получаем
		ˆ	pˆ 2	!2			(2.13)
		EK =		= −		∆
		EK =	2m	= −	2m	∆
			0	0

Оператор потенциальной энергии представляет собой оператор умножения на функцию U=U(x, y, z), определяющую потенциальную энергию частицы в стационарном силовом поле, то есть

ˆ	(2.14)
U = U (x, y, z) .
Оператор полной энергии в квантовой механике называют оператором
функции Гамильтона или просто гамильтонианом.	Гамильтониан

$
H определяется как сумма операторов кинетической и потенциальной энер-
гий и имеет вид
ˆ	ˆ	ˆ	!2			+ U (x, y, z) .	(2.15)
H =	EK + U =		−	2m	∆	+ U (x, y, z) .	(2.15)
			0
Выражение (2.15) можно использовать и в случае нестационарных си-
	ˆ	= U (x, y, z, t)				силовую функцию, связанную с си-
ловых полей, понимая под U		= U (x, y, z, t)				силовую функцию, связанную с си-

лой, действующей на частицу, соотношением F = − U .

III. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 1. Докажите, что оператор проекции импульса pˆ x является ли-

нейным самосопряженным (эрмитовым) оператором.

Решение. Линейность оператора pˆ x = − i! ∂∂x ≡ !i ∂∂x очевидна, поскольку дифференцирование является линейной операцией. Покажем, что оператор

px является эрмитовым оператором,			то есть для него выполняется условие
ˆ
самосопряженности
∫	*	ˆ	∫ Ψ	ˆ	*	dV .	(3.1)
∫	Ψ 1	(px Ψ 2 )dV =	∫ Ψ	2( px Ψ 1)		dV .	(3.1)
RN			RN

Здесь Ψ 1 и Ψ 2 - две произвольные функции, для которых выполнены все ус-

ловия, накладываемые на волновые функции. В частности, эти функции должны обращаться в нуль вместе с производными на границе рассматриваемой области.

Для упрощения выкладок ограничиваемся рассмотрением одномерного случая, когда функции Ψ 1 и Ψ 2 зависят только от одной пространственной координаты x. Тогда имеем

+∞

∂ Ψ 2

+∞

∂ Ψ 1*

I = ∫

Ψ 1

∫

d x =

1 Ψ 2

+ i

∫ Ψ

d x .

(px Ψ 2 )d x

∂

− ∞

∂ x

− ∞

Поскольку по условию Ψ 1(m∞)

=Ψ

2( m∞)

0, то

+∞

∂ Ψ

+∞

∂ Ψ *

∫

I = i!

∂ x

d x =

∂ x

d x =

− ∞

+ ∞

∂

+ ∞

2 (pˆ x Ψ

= ∫ Ψ

− i!

d x =

∫

d x.

∂ x

− ∞

Таким образом, показано выполнение условия самосопряженности

+∞	+∞
∫Ψ 1* (pˆ x Ψ 2 )d x. = ∫ Ψ 2( pˆ x Ψ 1) * d x
− ∞	− ∞

для оператора проекции импульса.

1 / 31 2 3 > Следующая >>>