Izmereniya_2

Добавил:

Studfiles Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный технический университет им. H.Э.Баумана

Предмет:

Физика

Файл:

−∞ < x< +∞ .

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.04.2014

Размер:

225.45 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Задача 2. Стационарное квантовое состояние частицы массы m0, движущейся в одномерной потенциальной яме ширины a с абсолютно непрони-

цаемыми стенками, описывается волновой функцией
			2		nπ x
Ψ		(x) =		sin		,	0 <	x < a	,	(3.2)
	n		a		a
				0		,	x < 0,	x >	a

где n = 1, 2, ... - квантовое число, определяющее состояние частицы.

Определите: а) среднее значение координаты частицы

x , б) среднее

значение проекции импульса < px >

и в) среднее значение квадрата импульса

частицы < p2 > .

Решение. а) Согласно (1.5), учитывая, что Ψ

n* =Ψ

n , находим

+∞

Ψ (n )x d x .

x = ∫Ψ

(x){xΨ n( x)} d x = ∫Ψ n( x) x

− ∞

Подставляя выражение для волновой функции частицы (3.2), получаем

x =

2 a

nπ x

d x=

1 a

cos

2nπ x

d x =

∫ x sin

∫

x −1

Этот результат физически достаточно очевиден. Частица движется в пространстве между непроницаемыми стенками ямы x=0 и x=a, отражаясь от них. Поэтому среднее значение координаты частицы должно соответствовать центру ямы.

б) Аналогично, используя выражение (2.2) для оператора px , находим

среднее значение проекции импульса

+∞ Ψ

* (x){pˆ

( x)} d x =

Ψ ( x)

∂ Ψ n d x =

∫

− ∞

i ∂ x

nπ

∫

∂ Ψ n

d x =

sin2

∂ x

Отметим, что значение < px > =0 для частицы в яме получается и в классической механике. Для классической частицы этот результат очевиден,

женную на некоторое число

так как частица движется вдоль оси x, отражаясь от стенок ямы, а ее импульс направлен то в одну, то в другую, противоположную сторону. Поэтому среднее значение проекции импульса частицы на ось x оказывается равным нулю.

в) Найдем теперь среднее значение квадрата импульса < p2 > . Посколь-

ку мы имеем дело с одномерным случаем, то из (2.3) следует, что

pˆ 2 =	pˆ	2	= − !2	∂ 2
		x		∂ x2

Очевидно, что хотя среднее значение проекции импульса < px > равно нулю, среднее значение квадрата импульса < p2 > у движущейся частицы должно быть отличным от нуля. Какое же в среднем значение квадрата импульса будет получено в серии измерений? Согласно (1.5)

p2 =

+∞

* (x){pˆ 2 Ψ

( x)}d x = −

2!2

a sin

nπ

x ∂

sin

nπ

d x =

∫

∂

− ∞

2!2

n2π

2 a

nπ

2!2

n2π

∫sin

d x =

Таким образом, в состоянии частицы с квантовым числом n

π 2h2

В том, что значение <

p2 > найдено правильно, можно убедиться и дру-

гим способом. Действительно, покажем, что волновая функция (3.2) является

собственной функцией оператора

. Подействовав на нее оператором квад-

ˆ 2

рата импульса

ˆ 2

∂

nπ

nπ x π

p Ψ n (x) = −

∂

sin

Ψ n (x) ,

мы получаем в результате такого действия ту же волновую функцию, умно-

π 2h2 n2 , которое является собственным значе- a2

нием оператора квадрата импульса.

Согласно общим положениям квантовой механики, этот результат показывает, что в квантовых состояниях, описываемых волновыми функциями (3.2) при любых значениях n квадрат импульса частицы имеет определенное значение, равное соответствующему собственному значению оператора pˆ 2 .

Поэтому при измерении p2 всегда будет получаться одно и то же значение

p2 = π 2h2 n2 .

Следовательно, эта же величина определит и среднее значение квадрата импульса в серии измерений, то есть

p2 = π 2h2 n2 .

Задача 3. Частица в некоторый момент времени находится в состоянии, описываемом волновой функцией, координатная часть которой имеет

вид
	x	2
Ψ (x) = A exp −		+	ikx , −∞ < x< +∞	(3.3)

	a2

где A и a - некоторые постоянные, а k - заданный параметр, имеющий размерность обратной длины. Определите среднее значение проекции импульса

< px > частицы в этом состоянии.

Решение. Так как для волновой функции (3.3)

pˆ x Ψ = − i!	∂ Ψ			2!				(x)
		=	k! +			x	Ψ
	∂ x			a	2

то по правилу (1.5) нахождения среднего значения имеем

			+∞					+∞
	px = ∫Ψ * (x){pˆ x Ψ						( x)} d x = k! ∫Ψ *( x) Ψ( )x d x +
			− ∞					− ∞
	2!		+ ∞	*	(x)Ψ	( x)		2!
+			∫ xΨ				d x = k!I1 +		I2 .
+		a2	∫ xΨ				d x = k!I1 +	a2	I2 .
			− ∞

Из условия нормировки волновой функции

+∞

I1 = ∫ Ψ * (xΨ) ( x) d x= 1.

−∞

Во втором интеграле подынтегральная функция является нечетной функцией координаты x, а интегрирование проводится в симметричных пределах от -∞

до +∞. Поэтому этот интеграл равен нулю, то есть

+∞	*	(xΨ) ( x) d x=		2	+∞		2x 2
I2 = ∫ xΨ			A		∫	x exp−			d x = 0 .
I2 = ∫ xΨ			A		∫	x exp−	a	2	d x = 0 .
−∞					−∞		a

Поэтому, окончательно, находим отличное от нуля среднее значение проекции импульса частицы

px = kh.

Задача 4. Найдите среднее значение потенциальной энергии квантово-

го осциллятора с частотой ω 0 в первом возбужденном состоянии, описывае-

мом волновой функцией

Здесь A - некоторая нормировочная постоянная, а m - масса частицы. Решение. Так как потенциальная энергия осциллятора

U(x) =	kx	2	=	m ω 0 x 2	,
	2			2

то в соответствии с (1.5) и (2.14) среднее значение потенциальной энергии осциллятора находим по формуле

+∞

(x){UΨ

+∞

(x)U( x) Ψ ( x) d x =

U = ∫

( x)}d x =

∫

− ∞

m ω 2

+ ∞

m ω x2

∫

A2 x4 exp −

d x.

− ∞

Интегрируя один раз по частям, получим

m ω

+∞

−

x 2

d x .

2m ω 0

3 ∫

A2 x 2 exp

−∞

Так как по условию нормировки волновой функции

+∞

Ψ (x)

+∞

x 2

∫

d x =

∫ A2 x 2 exp−

d x

−∞

то для средней потенциальной энергии осциллятора получаем, окончательно, значение

U = 43 hω 0 .

Правильность полученного результата можно обосновать следующим образом. Как и при гармонических колебаниях классического осциллятора, средняя потенциальная энергия квантового осциллятора равна его средней кинетической энергии, а их сумма составляет полную энергию осциллятора.

В квантовой механике полная энергия осциллятора определяется из-

вестной формулой
E		=	hω			1
E		=	hω		n+	, n=0, 1,2, .... .
	n			0		2

Для первого возбужденного состояния (n=1) полная энергия осциллятора

равна E =	3	hω	0	. Тогда для средней потенциальной энергии такого кванто-
равна E =		hω		. Тогда для средней потенциальной энергии такого кванто-
1	2
	2
вого осциллятора получаем значения
					U = 1 E =			3 hω		.
					2	1		4	0
Задача 5.				В основном состоянии атома водорода волновая функция
электрона имеет вид
				Ψ (r) =			r
					A exp −		r	, 0≤ r<∞			(3.5)
					A exp −			, 0≤ r<∞			(3.5)
							r1

где A - нормировочная константа, а r1 - значение боровского радиуса. Найдите для этого состояния средние значения:

а) модуля кулоновской силы, действующей на электрон; б) потенциальной энергии взаимодействия электрона с ядром; в) кинетической энергии движущегося электрона.

Решение. Константу A найдем из условия нормировки волновой функции, которое в сферической системе координат запишется в виде

	∞					2r
A 2	∫				−			4π r2 d r = 1.
		exp
		exp				r
						r
	0					1
Отсюда
				r	3 ∞
4π	A2			1		∫ξ 2 e− ξ dξ			= 1.
4π	A2		2			∫ξ 2 e− ξ dξ			= 1.
			2			0
						0
Интегрируя по частям, находим
∞					∞				∞
I = ∫ ξ 2 e− ξ dξ =				2∫ξ e− ξ				ξd =	2∫ e−ξ ξd= 2
0					0				0
и вычисляем нормировочную константу
			A =				1
			A =				π	r3 .
								1

а) В сферической системе координат модуль кулоновской силы зависит от расстояния r электрона до ядра, причем

F(r) =	e2
		.
	4πε 0r2

Оператор модуля кулоновской силы ˆ есть оператор умножения на функ-

цию F(r).

Среднее значение модуля кулоновской силы вычисляем по формуле

(1.15):

∞

(r){FK Ψ ( r)}4π r

d r =

∞

(r)F( r) Ψ

( r) 4π r

d r =

F = ∫Ψ

∫Ψ

e2 ∞

∞

− ξ

∫

exp

−

d r =

∫

dξ

ε0 0

πε 0 r1

2πε 0 r1

б) Потенциальная энергия электрона в поле ядра

U(r)

= −

4πε 0r

а оператор потенциальной энергии

есть оператор умножения на функцию

U(r).

Поэтому

∞

U = ∫

(r){UΨ ( r)}4π r

d r =

∫Ψ

(r)U( r) Ψ ( )r 4π

d r = −

I1 .

4πε

Здесь

∞

4π

2 ∞

I1 = ∫

exp −

4π r2 d r =

∫ ξ e− ξ

dξ

Таким образом, среднее значение потенциальной энергии электрона в основном состоянии атома водорода равно

= −

r .

4πε

0 1

в) В сферической системе координат для волновой функции (3.5)

2 d Ψ

Ψ = −

∆Ψ

= −

−

Aexp

−

2m0

2m0 r

d r

2m0r1

Поэтому вычисляя среднее значение кинетической энергии электрона по формуле (1.15), получим

∞

∫

(r){E

( r)}4π r

d r =

m r

∫

exp

−

4π r

d r −

0 1

∞

−

∫

exp

−

4π r

d r =

−

m r

0 1

Первый интеграл I1 был вычислен в пункте б) , причем I1=1/r1. Второй интеграл I2=1 в силу условия нормировки волновой функции (3.5). Следовательно, среднее значение кинетической энергии электрона равно

EK =	h2	h2		h2
EK =	m r2 −	2m	r2=	2m r2 .
	0 1		0 1	0 1
Для проверки найденных значений U				и EK заметим, что их сумма

должна быть равна полной энергии электрона в основном состоянии атома водорода

			E1 = −			m0 e4			.
			E1 = −			32π 2ε 02h2			.
						32π 2ε 02h2
Если учесть, что боровский радиус
				r1 =	4πε 0 h2
								,
						m0e2		,
						m0e2
то для полученных значений			U	и		EK	действительно имеет место равен-
ство
				2	2				4
U + E	K	= −	e	+		h = −			m0 e=	E .
	K		4πε	0r1		2m r	2		32π 2ε 2h2	1
					0 1				0

Задача 6. Определите возможные результаты измерений квадрата модуля момента импульса L2 и его проекции Lz на выделенное направление для частицы, находящейся в состоянии, описываемом волновой функцией

Ψ θ( , ϕ ) = A sin θ cosϕ ,

(3.6)

где θ - полярный угол, ϕ - азимутальный угол, а A - некоторая нормировоч-

ная постоянная.

Решение. В сферической системе координат уравнение Шредингера допускает разделение переменных. В этом случае оказывается возможным исследовать зависимость волновой функции от угловых переменных, отвле-

каясь от ее зависимости от радиальной переменной. Именно такой случай рассматривается в данной задаче.

Условие нормировки для волновой функции Ψ (θ ,ϕ ) имеет вид

2π

* (θ ,ϕ

Ψ)

θ( ϕ , ) sinθ θ

∫

∫ Ψ

dϕ

Подставляя в эту формулу волновую функцию вида (3.6), получим

2π

A2 ∫cos2 ϕ

dϕ ∫ sinθ3

θd

Поскольку

2π

∫ cos2 ϕ

dϕ

=π

∫ sin

3 θ

dθ =

то для константы A получаем значение A =

3 .

4π

Используя формулу Эйлера, представим cosϕ

в комплексной форме

cosϕ =

(eiϕ + e− ϕi

) .

Тогда нормированную волновую функцию (3.6) можно представить в виде

ˆ2

разложения в ряд по собственным функциям (2.12) оператора L

θ(ϕ ,

) =

iϕ

− ϕi

−ϕ i

4π

sin θ

8π

sin θ e

8π

sin θ e

1,+

(θ ,ϕ

1,−

θ(ϕ ,

Поскольку

этом

разложении

присутствуют

только

собственные

функции оператора

ˆ2

L , отвечающие значениям l=1, то с учетом (2.11) это оз-

начает, что результатом измерения квадрата момента импульса всегда будет одно и то же значение L2 = 2h2 . Для модуля момента в результате измерения получим L = 2h. Однако, два слагаемых в найденном разложении отличаются значениями m=+1 и m=-1. Следовательно, при измерении проекции мо-

мента импульса частицы, находящейся в рассматриваемом квантовом состоянии, будут реализовываться два значения

Lz = + h

Lz = − h.

Эти значения при измерениях будут получаться с вероятностями, кото-

рые определяются квадратами модулей коэффициентов C1 и C2 в разложении

ˆ2

волновой функции в ряд по собственным функциям оператора L . Так как в

нашем случае C1 = C2=

, то эти вероятности одинаковы и равны

P(+

h)=

− h)=

Среднее значение результатов измерения Lz при этом будет равно ну-

лю, так как

Lz = P(+ h) h+

P−( −h)( = h)

−

h =

Этот результат можно получить и формальным вычислением по формуле (1.15). Действительно

∂ Ψ

sinϕ .

Lz Ψ

= − i!

∂ϕ

= i!Asinθ

Поэтому

2π

(θ

,ϕ )}sinθ

Lx = ∫

∫ Ψ

dθ dϕ

,ϕ ){Lz Ψ ( θ

2π

i!A

2π

= i!A2 ∫

∫ sin3 θ

sinϕ

cosϕ

dθ

dϕ =

∫ sin3 θ dθ

∫ sin 2ϕ dϕ .

Так как второй интеграл в полученном соотношении равен нулю, то следовательно и Lz = 0 .

Задача 7. Покажите, что операторы проекций момента импульса связаны коммутационным соотношением

ˆ ˆ	ˆ	(3.7)
[Lx , Ly ]=	i!Lz .	(3.7)

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>