Одномерный потенциальный барьер.

Существует отличная от 0 вероятность того, что частица преодолеет такой высокий потенциальный барьер (туннельный эффект).

I.

II.

III.

Частные решения в комплексном виде:

Плоские волны де Бройля.

где характеризуют падающую и отраженную волну (точка x=0).

- волна, прошедшая в область II или падающая на границу (x=0).

- волна, прошедшая в область Ш.

- отраженная волна, идущая из бесконечности.

В области III имеет место только одна волна, прошедшая через порог, то коэффициент .

Вероятность нахождения частицы через потенциальный порог характеризуется коэффициентом прозрачности D, который равен отношению интенсивности прошедшей волны к интенсивности падающей волны:

- показатель преломления для области I.

- показатель преломления для области Ш.

- амплитуды падающей и прошедшей волны.

- длина световой волны в вакууме.

- в средах с

Для областей I и III

Условие непрерывности

тогда

При E<U₀ вопреки выводам классической механики, частицы проходят через потенциальный барьер, причем вероятность прохождения с увеличением Е возрастает, а при увеличении d потенциальный барьер уменьшается.

Для потенциального барьера произвольной формы (рис.) коэффициент прозрачности определяется:

Прохождение частицы через потенциальный барьер называется туннельным эффектом. Теория туннельного эффекта позволяет объяснить автоэлектронную эмиссию электронов из металла, работу туннельных полупроводниковых диодов, - распад.

Потенциальная стенка (потенциальный порог)

Рассматривается случай движения частицы, когда потенциальная энергия U(x) меняется скачком в одной точке, то есть когда потенциальная кривая U=U(x) имеет вид ступеньки высотой U₀

U(x)=0, x<0,

U(x)=U₀, x>0.

Потенциальный барьер бесконечной ширины.

Общее решение:

, где

Рассматривается условия перехода частицы из области I в область II в двух случаях:

1)E>U₀, полная энергия частицы больше высоты потенциального барьера.

2)E<U₀

При E>U₀ классическая частица обязательно перейдет из области I в область II и будет двигаться в ней с кинетической энергией E-U₀.

Квантовая частица на границе частично отразится, частично перейдет в область в область II как свет. Вероятность отражения характеризуется коэффициентом отражения

- падающая волна;

- отраженная волна.

- вероятность отражения на границе x=0.

В области I кинетическая энергия электрона Е и

Если E>U- потенциальный барьер называется низким, E<U- высоким.

В области II кинетическая энергия электрона равна (E-U) и

Коэффициент отражения

Разделим числитель и знаменатель на :

Решая уравнение относительно получим

Возведя обе части уравнения в квадрат, определим высоту потенциального барьера:

Если E<U, то вероятность прохождения W частицы через потенциальный барьер совпадает по физическому смыслу с коэффициентом прозрачности D (W=D)

Изменяя знак у правой и левой части, найдем d.

Коэффициент преломления n волны де Бройля на границе низкого потенциального

барьера бесконечной ширины , где- длины волн де Бройля в областях I и II (частица движется из области I в область II);- соответствующие значения волновых чисел.

Коэффициенты отражения и пропусканияволн де Бройля через низкий (U-E) потенциальный барьер бесконечной ширины:

.

Коэффициент прозрачности

Если барьер произвольной формы: