Уравнение Шредингера

следует решать по методу разделения переменных, полагая

Умножая исходное уравнение на получаем:

Так как слева стоит величина, зависящая только от r, справа – только от углов , это равенство может иметь место только в том случае, когда и левая, и правая части равны по отдельности некоторой величине, называемойпостоянной разделения.

Для радиальной:

Для угловой:

Полагая

ее разделяют по сферическим углам:

Частные производные заменяются полными дифференциалами.

- постоянная разделения.

Каждая из функций зависит только от одной переменной.

Таким образом, для определения собственных значений энергии и соответствующих им собственных значений функцийполучим три уравнения:

нормировка производится для каждой из функций по отдельности.

Частное решение для азимутальной функции: ,

либо .

Волновая функция должна удовлетворять условию однозначности, необходимо наложить условие периодичности, из которого следует

,

где .

из условия нормировки

m – магнитное квантовое число, собственные значения его известны.

Решение второго уравнения:

l – орбитальное квантовое число, l= 0,1,2,3,…,n-1

квантовое число характеризует собственное значение оператора, входящего в квантовое операторное выражение функции Гамильтона

.

Сравнивая с классической функцией Гамильтона

,

где , видим, что операторув классическом случае соответствует квадрат момента количества движения , а оператору- квадрат радиального импульса .

В классической механике момент количества движения , а момент внешних сил, и изменения

В случае центральных сил , тогда закон сохранения количества движения.

Чтобы обобщить классическое выражение на квантовый случай, надо заменить оператором импульса

,

тогда - не коммутируемые операторы.

;

действуя на шаровую функцию

;

m – характеризует проекцию момента количества движения на ось z.

- собственная функция операторов

При обращается в нуль, в то время по классической теории это величина не может вообще обращаться в нуль. Состояниене имеет классического аналога. Механический момент атома, находящегося в наинизшем состоянии, обращается в нуль. Экспериментальные данные из области спектроскопии подтверждают этот квантово-механический результат.

Решение простейших задач в сферических координатах.

Ротатор – представляет собой частицу, движущуюся по сфере радиуса . Это задача – движение под действием центральных сил, когда потенциальная энергия постоянна, и можно положить равной нулю..

Угловая часть описывается шаровыми функциями, а для определения радиальной функции берем уравнение

,

где , подставим.

.

- момент инерции.

Энергия ротатора зависит от орбитального квантового числа, магнитное квантовое число, характеризующее проекцию момента на осьZ, в выражение не входит. Собственному значениюсоответствуют собственные функции, зависящие отm. m может меняться от , каждому значению энергиибудут соответствовать (2l+1) собственных функций, описывающих состояния ротатора, отличающиеся лишь ориентацией момента относительно осиZ, то есть уровень энергии является-кратно вырожденным.

Приl=0 имеем однократно вырожденный уровень, который называется просто невырожденным.

Состояния: l=0, 1, 2, 3, 4 …

s, p, d, f, g и так далее.

Рассмотрим S и P состояния ротатора.

В S-состоянии , собственная функция, соответствующая нулевому собственному значению энергии, будет равна.

-квадрат модуля – плотность вероятности

В P-состоянии , квантовое числоm может принимать три значения: -1, 0, +1, следовательно, собственному значению энергии соответствуют три собственные функции:

Плотности вероятности:

Величина представляет вероятность обнаружить частицу на сфере постоянного радиуса в области углов.

Поскольку квадрат модуля не зависит от угла, вероятность обнаружить частицу в одном и том же интервале угловстановится одинаковой. В силу этого произведениесоответствует плотности вероятности обнаружить частицу между углами.

Графически распределение плотности вероятности (1), (2), (3) представлены на рисунке:

Чтобы поучить полную картину нужно вращать вокруг оси Z. Рис а) и из (1) направление момента относительно осиZ для ротатора в состоянии S не зависит от угла , так как. Покоящаяся же материальная точка может с равной вероятностью находиться в любом месте сферической поверхности радиуса , то есть все положения ротатора возможны и равноправны. Классического аналога S-состояние не имеет.

Из (2) и рис. б) следует, что наиболее вероятной из всех траекторий ротатора в P-состоянии с является та, которая расположена в плоскости (xy), причем состояния с отличаются одно от другого направлением оси вращения: приротатор обладает правым вращением (момент количества движенияпараллелен осиZ), а при - левым (моментантипараллелен осиZ).

При l=1 и m=0 наиболее вероятной орбитой ротатора является та орбита, которая лежит в плоскости, проходящей через ось Z (рис. в)). При этом момент направлен перпендикулярно оси Z.

Аналогичным образом можно исследовать состояния с l= 2 (пять значений ), сl=3 и так далее.

Во всех случаях наблюдается размытость электронного облака.

Существуют фотографии электронного облака для различных состояний водородоподобного атома.