Уравнение Шредингера для атома водорода.

В сферической системе координат для электрона:

- собственное значение энергии электрона в атоме, n=1,2,3,…

-определяется тремя параметрами;

n – главное квантовое число, l – побочное квантовое число, m – магнитное квантовое число.

Вероятность того, что электрон находится в области, ограниченной элементом объемаdv₁, взятого в окрестности точки с координатами определяется

(в сферических координатах).

В состоянии s(l=0, m=0) волновая функция сферически симметрична (т.е. не зависит от углов ()).

Нормированные собственные -функции, отвечающие за 1s-состояние (основному) и 2s-состоянию, имеют вид:

или в атомных единицах

где в качестве единицы измерения длины выбран радиус первой боровской орбиты

При таком выборе единицы длины расстояния осей ядра будет выражаться в безразмерных величинах.

В s-состоянии вероятность найти электрон в интервале (r,r+dr) одинакова по всем направлениям и определяется формулой

Момент импульса L и магнитный момент P, обусловлены орбитальным движением электрона:

где l – орбитальное квантовое число l=(0,1,2,3,…,(n-1)),

Проекция момента импульса L_z и магнитного момента P_z на направление внешнего магнитного поля:

где m – магнитное квантовое число ().

Гиромагнитные отношения для орбитальных магнитного момента P и момента импульса L

Момент импульса s и магнитный момент , обусловлены спином электрона

Проекции спиновых моментов импульса S_z и магнитного момента на направление внешнего магнитного поля

Проекции S_{z и} могут принимать только два значения.

Гиромагнитное отношение для спиновых магнитного и механического моментов

Распределение электронов по состояниям в атоме записывается с помощью спектроскопических символов:

Значение орбитального числа l	0	1	2	3	4	5	6	7
Спектрографический символ	s	p	d	f	g	h	i	k

Электронная конфигурация записывается следующим образом:

2p – (n=2, l=1); 2p² – (электронов в атоме ровно 2^m и т.д.)

Принцип Паули: в атоме не может находиться два и более электронов, характеризуемых одинаковым набором четырех квантовых чисел: n, l, m, m_s (где m_s – спиновое магнитное квантовое число: ).

Оператор Лапласа в сферических координатах:

Z_e – заряд ядра. Сила, связывающая электроны с ядром на расстояниях порядка атомных размеров (см) есть кулоновская сила притяжения. Соответствующая ей потенциальная энергия

Для низшего энергетического состояния l=0 и оно полной сферической симметрией, так что функция будет зависеть только от радиусаr и не будет зависеть от углов . Поэтому члены, содержащие производные пов операторе Лапласа, равны нулю и уравнение Шредингера принимает вид:

Обозначим

простейшее решение этого уравнения, имеющее конечное значение при r=0 и стремящееся к нулю при есть

Действительно, имеем, прежде всего

подставляем в выше написанное уравнение, и после сокращения на

это соотношение должно иметь место при любом r, вследствие чего оба двучлена, взятые в скобки, должны равняться нулю, каждый в отдельности, т.е.

,

Сравнивая с формулой Бора для бальмеровых уровней энергии мы видим, что E_l, есть не что иное, как первый бальмеров уровень, соответствующий главному квантовому числу n=1, l=0, оно символически обозначается ls.

Z=1 и иногда энергия E_l водородного атома в нормальном состоянии, с обратным знаком, это и будет энергия ионизации атома водорода.

хорошее совпадение с экспериментальными данными.

Вычислим теперь вероятность электрона в элементе объема . Обозначим черезN нормирующий множитель.

, где

Постоянная имеет размерность см^-1.

Введем новую постоянную , связанную с отношением:

тогда:

плотность вероятности W(r) обращается в нуль при и асимптотически стремится к нулю при. Таким образом, имеется определенная вероятность найти электрон на любом расстоянии от ядра – между 0 и. Эта вероятность достигает максимума на расстоянии: продифференцируем последнее уравнение и приравняем к нулю, и после сокращения на

получим

откуда , где

где ; находим;

С таким выражением встречались в теории Бора: n=1, Z=1

;

это радиус первой водородной орбиты. Азимутальное квантовое число теории Бора

и здесь состояние ls характеризуется сферической симметрией, так что распределение вероятности представляет собой сферическое «облако», а не плоский образ, соответствующий «орбите». Заряд электрона представляют на всех графиках размазанный по всему пространству в виде облака.