LAB_3

18

Лабораторна робота № 3

Двофакторна лінійна регресійна модель.

Оцінка параметрів та прогнозу.

Мета роботи: Навчитись будувати багатофакторну регресійну модель на

прикладі двофакторної моделі. Засвоїти методику

економічного аналізу на її основі і інтерпретацію

основних параметрів

Хід роботи:

1. Скласти таблицю вихідних даних за формою:

№

у

х1

х2

Дані взяти із таблиці 3

Таблиця 3

1	Фінансовий результат, тис. грн.	124,3	174,3	185,2	156,3	142,8	102,2	98,4	87,2	86,3	56,3
2	Прибуток на 1 праців­ника, тис.грн.	0,09	0,05	0,02	0,01	0,01	0,26	0,47	0,6	0,09	0,03
3	Оборотність дебіторської заборгованості	2,79	2,65	2,72	2,62	2,58	2,79	2,89	2,98	2,73	2,67
4	Оборотність кредиторської заборгованості	0,65	0,72	0,71	0,79	0,77	0,89	0,9	0,91	0,89	0,75
5	Вартість основних засобів, тис.грн.	67,09	54,05	55,02	35,76	36,3	49,56	63,2	65,5	69,2	43,6
6	Середньо­спискова кількість працівників, чол.	270	234	180	197	178	220	256	234	243	245
7	Середньо­спискова кількість управлінців, чол	23	20	22	21	17	16	15	16	18	19
8	Урожайність, ц/га	25	27	26	27	28	20	19,8	19,6	28	20
9	Виручка від реалізації, тис.грн.	2344	2546	3453	3454	2365	2453	456	657	435	765
10	Валовий збір, ц	135	145	135	134	140	102	102	108	132	124
11	Виробничі затрати, тис.грн.	45	48	125	478	114	104	113	986	102	965
12	Сума нарахованих податків, тис.грн.	458	564	587	457	589	897	681	698	974	874

Варіанти завдань :

Номер варіанту	1	2	3	4	5	6	7	8
перша цифра - у, друга цифра - х1, третя цифра - х2	1,5,8	2,4,7	3,9,12	5,2,9	3,8,11	4,6,9	5,3,11	10,3,5
Номер варіанту	9	10	11	12	13	14	15	16
перша цифра - у, друга цифра - х1, третя цифра - х2	3,7,2	1,6,3	4,2,9	6,9,12	3,12,7	9,8,2	3,9,5	11,6,9

1. Знайти рівняння регресії у=а₀+а₁х₁+а₂х₂+е_t (визначити коефіцієнти регресії). Розрахунки подати в таблиці.

2. Розробити структурну схему отриманої економетричної моделі.

3. Побудувати діаграму розсіювання для двох пар змінних (у, х₁) і (у, х₂).

4. Знайти стандартизовані регресійні коефіцієнти.

5. Оцінити еластичність змінної у_t відносно змінних х₁, х₂ за допомогою коефіцієнтів еластичності.

6. Оцінити зв’язок між змінними х₁ і х₂ за допомогою кореляції.

Теоретичні відомості:

1. Лінійна проста регресія є окремим випадком лінійної множинної регресії, коли К = 2. У цьому випадку в рівняння регресії, крім вільного члена а₀, якому відповідає допоміжна змінна х₀ (регресор) = 1, вхо­дить тільки одна дійсно пояснююча змінна, а саме, х₁ з регресійним коефіцієнтом а₁.

у = а₀ х₀+а₁х₁+е_t

2. Множинна регресія складається із двох простих регресій. При цьому:

а) перша регресія описується рівнянням, за умови відсутності х₂ –

у = а₀ х₀+а₁х₁+е_t.

б) друга проста регресія отримується, якщо відсутня х₁ –

у = а₀ х₀+а₂х₂+е_t.

Таким чином, трактування коефіцієнтів регресії зводиться до опису зміни залежної змінної – регресанда "у" під впливом регресора "х₀" (незалежної змінної) при зафіксованих значеннях інших змінних "х_k".

3. Д іаграма розсіювання є зображення спостережень у площині даних змінних :

4. Процедуру побудови множинної регресії розглянемо на прикладі регресії з двома пояснюючими змінними. Функція лінійної множинної регресії в цьому випадку має вид:

(1)

Завдання полягає в оцінці параметрів регресії за результатами вибіркових спостережень над змінними, включеними в аналіз. Для цієї мети застосовуємо метод найменших квадратів. Поставимо умову, відповідно до якого регресія повинна по можливості добре узгоджуватися з емпіричними даними. Тому висунемо вимогу, по якому сума квадратів відхилень усіх значень, що спостерігаються, залежної змінної від значень, обчислених по рівнянню регресії (тобто сума квадратів залишків), повинна бути мінімальна. Отже, повинне виконуватися вимога:

,

Підставляючи замість y_i вираз (1), одержимо:

S є функцією від невідомих параметрів регресії. Необхідною умовою виконання служить обернення в нуль часткових похідних функції S (а₀,а₁,а₂) по кожному з параметрів а₀,а₁,а₂. Після відповідних алгебраїчних викладень одержуємо наступну систему нормальних рівнянь:

Розв’язавши дану систему рівнянь можна отримати значення коефіцієнтів: а₀, а₁, а₂.

5. На практиці крім звичайних оцінених регресійних ко­ефіцієнтів оцінюються і інтерпретуються стандартизовані регресійні коефіцієнти. Вони відомі також під назвою "бета-коефіцієнти".

Оцінені значення стандартизованих регресійних коефіцієнтів можна обчислити за наступною формулою, яка одночасно може бути визначенням:

де – 1МНК-оцінка регресійного коефіцієнта а_і;

δ_хі - емпіричне стандартне (середньоквадратичне) відхилення і-го регресора х_і.

δ_y - емпіричне стандартне (середньоквадратичне) відхи­лення регресанда у.

Емпіричне стандартне відхилення допоміжної змінної х₀ для вільного члена дорівнює нулю, то = 0. Це означає, що немає сенсу розрахувати стандартизований вільний член.

Як інтерпретується стандартизований регресійний коефіцієнт? Перш за все передбачають, що емпіричні стандартизовані відхи­лення δ_хі і δ_y є типовими (характерними) змінами досліджува­них змінних. Тоді добуток δ_хі виражає типовий ефект впливу і-го регресора на регресанд. Чи буде цей ефект великим або малим, залежить від величини типової зміни регресанда.

6. Інтерпретація. Емпіричний стандартизований регресійний коефіцієнт вказує на те, наскільки є великим за інших рівних умов оцінюваний типовий ефект впливу і-го регресора в порівнянні з типовим ефектом зміни регресанда. Чим більша величина , тим більш значущим при інших рівних умовах є і-й регресор. Стандартизовані регресійні коефіцієнти визначаються при оцінці параметрів тоді, коли замість звичайних рядів спостережень використовуються стандартизовані ряди, наприклад, замість x_і.

7. Визначення коефіцієнтів еластичності.

При інтерпретації регресійних коефіцієнтів беруть до уваги оди­ниці виміру регресанда і регресорів. Для ви­явлення ступеню впливу регресора на регресанд без враховування одиниць виміру, крім регресійного коефіцієнта, можуть бути обчи­слені коефіцієнти еластичності (коротко: еластичність).

Еластичність регресанда y_t відносно регресора х_tk дорівнює:

де у* і х^*_і, - значення регресанда і і-го регресора, що визначають точку регресійної функції, для якої обчислюють коефіцієнт еластич­ності.

Еластичність є безрозмірним показником. Безрозмірність еластичності _k є перевагою: вона полегшує інтерпретацію.

В лінійному регресійному рівнянні часткова похідна ду/дх_і дорівнює регресійному коефіцієнту а_і. В цьому випадку істинна еластичність обчислюється:

Оцінена еластичність €k інтерпретується таким чином. Якщо за інших рівних умов і-й регресор зміниться на один відсоток, то регресанд внаслідок цього зміниться на €і відсотків.

Еластичність повністю формулюється так: "оцінена еластичність у відносно х_і (наприклад, оцінена еластичність попиту відносно доходів або оцінена еластичність товарообігу відносно торгової площі).

Контрольні питання:

1. Як отримується рівняння багатофакторної лінійної регресії.

2. Який економічний зміст багатофакторної регресії.

3. Як обчислити бета-коефіцієнти моделі і що вони характеризують.

4. Як обчислити коефіцієнт еластичності і який його економічний зміст.

5. Що характеризує діаграма розсіювання і як її побудувати.