1. Виды событий. Алгебра событий. Классическое определение вероятности.

Виды событий:

а. Достоверное – событие, которое при выполнении ряда условий обязательно произойдет.

б. Невозможное – событие, которое при выполнении ряда условий не произойдет.

в. Случайное – событие, которое при выполнении ряда условий может произойти, а может не произойти.

Алгебра событий:

Сумма 2-х событий А и В состоящий от появления событий А, либо событий В, либо событий А и В.

Произведением А и В, называются событий состоящие в совместном появлении 2-х этих событий.

Классическая вероятность – это величина теоретическая, для ее нахождения не нужно проводить испытаний.

2. Теоремы сложения и умножения вероятностей.

Теорема 1: Вероятностью суммы 2-х несовместных событий равны сумме вероятности этих событий.

Док-во: Пусть из n исходных испытаний событию А благоприятствует m₁, B – m₂. Тогда P(A) = m₁/n, P(B) = m₂/n.

По условию теоремы событий следует, не из событий m₁ не благоприятствует событие B, и не одно из m₂ не благоприятствует событие A.

Тогда (A+B) благоприятствует (m₁+m₂) исходит и P(A+B) = m₁ + m₂/n = m₁/n + m₂/n = P(A) + P(B)

Теорема 2: Вероятность сумма 2-х совместных событий равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного появления.

Теорема 3: Вероятность совместного появления 2-х зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условие вероятности другого.

Теорема 4: Вероятность совместного появления 2-х независимых событий равна произведению вероятности этих событий.

3. Формула полной вероятности.

Вероятность событий А, которое может наступить лишь при условии появления событий B₁, B₂,… , B_n, которое образуют полную группу, равна сумме произведения вероятностей этих событий на соответствующие условия вероятности событий A.

Поскольку события B₁, B₂ … B_n образует полную группу то они не совместимы, следует по теореме 1, поскольку событие A зависит от событий B_i, то по теореме 3 умножение для зависимых событий можно записать.

4. Повторное независимое испытание.

Повторные независимые испытания называются испытаниями Бернулли, если при каждом испытании имеется только два возможных исхода и вероятности этих исходов остаются неизменными для всех испытаний.

Схема Бернулли: испытания происходят независимо друг от друга и от испытания и испытания не изменяются вероятность наступления события и соответственно не изменяется вероятность не наступления.

5. Формулы Бернулли, Лапласа, Пуассона.

Формулы Бернулли: Пусть произведено n независимых испытаний, в каждом из которых события A появилось с вероятностью p и не появилось с вероятностью g. Тогда вероятность того, что событие A наступит равно k раз вычисляется по формуле:

Формула Муавра – Лапласа: Если вероятность p наступления события в одном испытании и отлична от 0 до 1, то вероятность того, что n независимых испытаний события появится равно k (тем точнее чем >n):

Где называется нормальной функцией Гауса, которая четка и табулирована.

Формула Пуассона: Если вероятность p наступления события А в каждом испытании постоянна, близка к нулю, а число независимых испытаний n достаточно велико, то вероятность Pn(k) того, что в n независимых испытаниях событие А наступит k раз, приближенно равна:

, где λ=np