17.

Численное интегрирование- приближенное вычисление интеграла При решении задач часто встречается интегрирование

в

вида I = ∫ f(x)dx (1) , если f(x)→F(x), то а

I=F(b)-F(a) – точное зн.однако возможно случаи : 1)не удается найти F(x)

2)F(x) сущ.,но имеет слож.вид. 3)f(x) задага таблицей , в таких случаях F(x) не сущ. Во всех этих случаях используют приближенное значение интеграла. Формулы численного интегрирования называют квадрат.формулами. Они основаны на интерполяционных формулах . Отрезок [a,b] делят на n частей точками a=x0<x1<x2<..<xn=b. Затем на каждом малом отрезке [х к; х к+1] f(x) → интерпол.многочлен Pm(x) степени m , тогда (1) заменим.интегрир.вида

n-1 xk+1 Ĩ=Σ · S Рm(x)dx . Это приближенное значение интегрирован.

k=1 xk при разных m получ. разные квадратур.формулы. Погрешность

I → ĩ зависит от : 1) разбиения [a,b] 2) от погрешности интерполяции

Формулы прямоугольников

Отрезок [a,b] разбит на n частей f(x) на Р0(х)→ интегрир.многочлен нулевой степени. Известно , что на отрезке [х к; х к+1] Р0(х)=f(xk) , тогда следует n-1 xk+1 n-1 х к+1 n-1 Ĩ=Σ · S f(xк)dx = Σ f(xk) ∫ dx= Σ f(xk)( х к+1-x1) k=0 xk k=0 xk k=0

Получаем прямоуголн.(левых) для любой сетки узлов, если узлы равностоящие.,т.е. х1-х0=х2-х1=х3-х2=..=h,

получ.особен.простую формулу

n-1 Ĩлев.прямоуг.=h Σ · f(xk)

k=0 Можно записать формулу для правых прямоугольников: n Ĩправ..прямоуг.=h Σ · f(xk)

k=1 Формула трапеций

n-1 xk+1 Заменим f(x) Ĩ=Σ · S Рm(x)dx Pm(x) на

k=1 xk

интегрир.многочлен. Pm(x)→ P2(x)=f(xk) · x-xk / xk- х к+1 + f(х к+1) x-xk/xk+xk

n-1 xk+1 Подставляем в Ĩ=Σ · S Рm(x)dx получим

k=1 xk

формулу трапеций для любой сетки узлов:

n-1 n-1 Ĩтрап..= Σ · Р1(х)dx=..= Σ [f(xk)+f(х к+1)] · х к+1 - xk /2

k=0 k=0

если узлы равностоящие , то получим n-1

Ĩтрап..= ln {f(x0)+f(xn)/2 + Σ f(xk) }

k=1 Она дает погрешность Rтрап.= | I-Ĩ трап.|<= М2(в-а)³ / 12n² , где M2=max | f ' (x) | [a,b]

12. В матем. моделях участвуют разные величины, некоторые из них связаны друг с другом. Часто рассматривают зависимость y(x) и выясняют ее вид y=f(х)=? . при этом часто явный вид бывает – неизвестен, известен, но имеет громоздкий вид , трудно найти явный вид f(x). В таких случаях вместо f(x) ищут другую функцию g(x), которая должна иметь простой вид , должна быть близка к f(x). Приближенная замена одной функции у другой функции называется аппроксимацией.

Функция f(x) , которая замен. , называется аппроксируемой , функция g(x) , которая заменяет , называется аппроксимирующей . Существуют разные виды аппроксимации , но во всех случаях должны быть заданы – КАФ ( класс аппроксим.функций ) , ХБ (характ.близкости) Примеры

1. Полиноминальная интерполяция

пусть дана таблица значений х,у

Х х1 х2 … хn

У у1 у2 … уn

Причем известно , что ук=f (хк) к = 1, 2, 3, .., n Постановка задачи Найти алгебр. многочлен (полином) Р(х) удовлетв. условию Р(хк)=ук=f(к) Здесь КАФ – это множество всех алгебраич. значений в степен. n, ХБ служит величина dk(f,P)=| f(xk)-P(xk)| Задача считается решенной , если найти мног.Р(х) такой , что dx(f,P)=0 Задача называется задачей интерпол.,потому что выполн.строгое равенство, при аппроксимации - ≈

2) Средняя квадрат-ая точечная аппроксимация в примере 1 многочлен Р(х) имеет степень m , если m - велико, то приходиться много считать. Если нужно получить многочлен опред.новые степени m<n , то невозможно требов. Р(хк)≠f(к) , в таком случае Р(хк)≈f(к)

n Здесь КАФ множ.в степени m , а ХБ служит величина S(f,p)= ∑ (f(xk)-P(xk))² k=1 Задача решена , если найден Р(х) степени m такой , что S(f,p)-min-ое

3) Равномерн.аппроксимация в примерах 1 , 2 требовалось , чтобы Р(хк)=ук=f(к) или Р(хк)≈f(к) , при этом между узлами табл. Могли отличаться. Если это недопустимо использ.равномерн.аппроксимации. При этом КАФ нужн.степен., а ХБ служит величина d(f;P)= max | f(x)-P(x) |

1≤k≤n

Задача решена , если d-min

2

6.

Рассмотрим ДУ 2-ого порядка у ''к=F(x,y,z) для его решения нужны 2 дополнительных условий ,

н апример , условия вида : у(х0)=у0 у'(х0)= у0 ' х0=а [a,b]

Задача отыскивания част.решений ДУ у ''к=F(x,y,z)

при начальном условии

у(х0)=у0 у'(х0)= у0 ' называется задачей Коши для ДУ

2-ого порядка Введем новую функцию z(x)= у '(x) Тогда из у ''к=F(x,y,z) следует : z ' = F(x,y,z) у ' = z Это система ДУ 1-ого порядка Из у(х0)=у0 у(х0)=у0 у'(х0)= у0 ' следует z(x0)=z0 используем известные методы Метод Эйлера z к+1= zk+hF(xk,yk,zk) у к+1 = zk+hz к+1

15.

Пусть f (n-1)-раз дифференцируема в окрестности

U=(x0-a,x0+a) точки x0 и существует f(n)(x0)

Многочленом Тейлора в точке x0 называется многочлен

вида .

Свойства многочлена Тейлора

 (1)

Из (1) следует

=

 (2)

Из (1) следует

Pn(x0)=f(x0),   

(3)

В частности,  ,

k=0,1,…,n.  Обозначим Rn(x)=f(x) - Pn(x), тогда  

(4) – формула Тейлора функции f