Типы зо

1)классиф.по наличию ограничений- если огр.(2),(3) нет,

то задача оптимизац,называется безусловной, если они

есть, то условная ЗО

2)по типу переменных х1,ч2,…,хn-если все они целые, т

о получ.задачу целочисленной оптимизации

3)класстф.по типу функций f,g,h- если все они линейные

получ.задача линейной оптим. Такие задачи называют

задачами линейного программирования; если хотя бы

одна из функций вход. в (1),(2),(3) нелинейная получ.

задачу нелинейной оптимизации. 4)классифик.по количеству переменных-если n=1,т.е.

f=f(x), получ.задачу одномерную;n=2 –двумерная и т.д.

5)классифик.по количеству целых функций – если цел.

функция одна, то получ.задачу однокритериальной

оптимизации, если цел.функций несколько-

многокритериальной оптимизации

Постановка задачи математического

программирования сводится к формированию

ограничений деятельности системы, которые затем

разделяются на критерии и ограничения.

Критерий позволяет оценить решения и определить

лучшее из них.

10.

В отличии от МПИ в данном методе»свежие» значения

используются

сразу, т.е. итерационные формулы имеют вид:

(к+1) (к) (к) (к) (к+1) (к) (к)

х =f1(x ,y ,z ) x =f2(y ,z ) (к+1) (к+1) (к) (к) ( к+1) (к+1) (к)

y =g1(x ,y ,z ) или y =g2(x ,z ) (к+1) (к+1) (к+1) (к) (к+1) (к+1) (к+1)

z =h1(x, y ,z ) z =h2(x ,y )

11.

Один из часто применяемых методов для решения

СНУ . Идея метода состоит в том , что СНУ, приводят к СЛАУ.

В основе метода лежит

представление всех уравнений системы рядом Тейлора . Пусть дана функция f(x), х0- начальное приближение,Δх-

приращение аргумента х1=х0+ Δх Запишем разложение для Тейлора

f(x1)=f(x0+ Δх)=f(x0)+f'(x0)/1! · Δх+ f''(x0)/2!+f (x0)/k!·

Δk+ … Рассмотрим метод ньютона для СНУ из 2-х уравнений f(x,y)=0

g(x,y)=0 (*) Запишем для f и g разложение ряд Тейлора f(x,y)=f(x0+ Δх,y0+ Δy)=f(x0,y0)+f 'x(x0,y0)/1! · Δх +

f ' y(x0,y0)/1! · Δy + f '' xx(x0,y0)/2! · Δ²х + …

g(x,y)=g(x0,y0)+g 'y(x0,y0)/1! · Δy + g ' x(x0,y0)/1! · Δx + … оставим в пол.разлож. справа только линейные части ,

т.к. решение СНУ (*), то лев.

Части приравниваем к нулю. Запишем полученную

систему f 'x(x0,y0) Δх + f ' y(x0,y0) Δy= - f(x0,y0) g ' x(x0,y0) Δx+ g 'y(x0,y0) Δy= - g(x0,y0) (**) т.к. f и g - заданы , ф x0,y0 – неизвестные начальн.

приближения, то (**) –

э то СЛАУ относительно неизвестных Δх, Δy - ? Таким образом перешли от СНУ (*) к СЛАУ (**) СЛАУ решается методом Краймера ,т.е. Δх=Ух/У

Δy=Уу/У , где У – это опред.из коэффициентов

перед неизвестных.

У = f 'x f 'у ≠ 0 g 'x g ' у

Ух= -f f 'у Yy= f 'x -f -g g ' у g 'x -g

Y = f 'x ·g ' у - f 'у · g 'x Yx= -f ·g ' у + g· f 'у Yy = - g · f 'x + f · g 'x Затем вычисляются значения У,Ух,Уу в точке х0,у0 , тогда

х1=х0+ Δх

у1=у0+ Δу Зная х1,у1 и подставляем их значения в формулы для

У,Ух,Уу, находим х2=х1+ Δх

у2=у1+ Δу Запишем итерационную формулу метода Ньютона х (к+1) =хк+ Δх

у(к+1) =ук+ Δу решение прекращается , если на очередном шаге

выполнится условие max {|х(к+1) -хк|;|у(к+1) -ук|}= max {| Δх|,| Δу |}<= ε

24.

yk+1=yk+y’kh+(y”kh^2)/2+o(h^3)=yk+hf(xk,yk)+(y’k+1-y’k)/2h*h^2+o(h^3)=yk+hf(xk,yk)+(f(xk+1,yk+1)-f(xk,yk))/2h*h^2+o(h^3)=yk+h/2{f(xk,yk)+f(xk+1,yk+1)}+o(h^3).Когда y’=f(x),то yk+1=yk+h/2{f(xk)+f(xk+1)}+o(h^3).

16. а) Если таб.знач.распол.вблизи прямой, то ищут линейн.

у=ах+в , у=а1х+а2 б)Если точки располож.по дуге , то ищут

квадрат.зависимость у=ах²+вх+с

в) Если точки располож.дугой с перегибом , то ищут

кубич.зависимость у= ах³+вх²+сх+d

г)Если у сильно возрастает или убывает , то ищут

зависимость вида

у=аⁿ+в , у=саⁿ

д) Если вид функции не опред.,то ищут зависимость 2-го

или 3-го порядка у=ах²+вх+с , у= ах³+вх²+сх+d

18.

Заменим на малом отрезке [х к-1; х к+1] функцию интерл-ым многочленом 2-о1 степени Р2(х)=f(х к-1) · (x-xk)·(x- х к+1)/( х к-1 –xk)·(xk- х к+1)+f(xk) · (x- х к-1)·(x- х к)/( х к+1 – х к-1)·( х к+1 –xk)

n-1 xk+1 подставляем Р2(х) в Ĩ=Σ · S Рm(x)dx и , считая узлы, получим формулу метода k=1 xk парабол(Формула Симпсона): Ĩс=ln/3 · { f(x0)+ 4 f(x1) +2f(x2)+4f(x3)+..+f(xn)} Погрешность считается по формуле :

5 4 4 Rc=| I-Ĩ |<= Mn(b-a) / 180 n , где Mn=max | f (x) | [a,b]

Вычисление погрешностей квадратурных функций с помощью правило Рунге : 5 4 Rc=| I-Ĩ |<= Mn(b-a) / 180 n Rn=16П2n 5 4 R2n=| I-Ĩ 2n |<= Mn(b-a) / 180(2n ) = |( I-Ĩ )- (I-Ĩ 2n)|=| Ĩ 2n- Ĩ n |=| Rn-R2n|=15R2n R2n=| Ĩ 2n- Ĩ n | / 15

23.

yk+1=yk+y’k*h+o(h^2),т.е yk+1=yk+hf(xk,yk)+o(h^2).

2 ) n S= ∑ (у(xk)-ук)²→min k=1 Пусть У зависит от Х у(х)= ах³+вх²+сх+d n S= ∑ (ах³+вх²+сх+d)²→min k=1 т.е.нужно решать систему Sa' такой способ нахождения у(х) называется МНК Sb'

Sc' Sd ' n 2∑ (ах³+вх²+сх+d-ук) · хк³=0

k=1 n 2∑ (ах³+вх²+сх+d-ук) · хк²=0

k=1 n 2∑ (ах³+вх²+сх+d-ук) · хк=0

k=1 n 2∑ (ах³+вх²+сх+d-ук) · 1=0

k=1 Проир.по членам,перенося сначала с ук вправа

n 6 n 5 n 4 n а∑ хк + в Σ хк + сΣ хк +d Σ хк³= Σхк³ук

k=1 к=1 к=1 к=1

5 4 3 2 аΣхк+вΣхк+сΣхк+dΣхк=Σхк²ук 4 3 2 аΣхк+вΣхк+сΣхк+dΣхк=Σхкук 3 2 аΣхк+вΣхк+сΣхк+ =Σук δ=√1/n-1 · Σ (у(хк)-ук)² к=1

25.

Метод Р-К метод разных порядков. Yk+1=yk+h/6(g1+g2+2g3+g4)+o(h^5).g1=f(xk,yk).g2=f(xk+h/2,yk+h/2g1).g3=f(xk+h/2,yk+h/2g2).g4=f(xk+1,yk+hg3).

14.

Это единственный многочлен степени <= n-1 для табл.

Из n точек вычисляется по формуле

N(x)=y1+g(x1,x2)(x-x1)+g(x1,x2,x3)(x-x1)(x-x2)(x-x3)

+…g(x1,x2,…xn)(x-x1)(x-x2)…(x-xn)

Причем N(xk)=yk