Транспортная задача Постановка задачи
Важным частным случаем ЗЛП является транспортная задача. Задача выглядит следующим образом: имеется m поставщиков и n потребителей, мощности поставщиков, спросы потребителей и затраты на перевозку единицы груза для каждой пары «поставщик-потребитель».
Задача представляется в виде таблицы.
Поставщики |
Мощность поставщиков |
Потребители и их спрос |
|||
1 |
2 |
… |
n |
||
N1 |
N2 |
… |
Nn |
||
1 |
M1 |
c11
х11 |
c12
х12 |
… |
c1n
х1n |
2 |
M2 |
c21
х21 |
c22
х22 |
… |
c2n
х2n |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
m |
Mm |
cm1
хm1 |
cv2
хv2 |
… |
cmn
хmn |
В левом верхнем углу клетки стоит коэффициент затрат cij – затраты на перевозку единицы груза от i-го поставщика j-му потребителю.
Задача ставится следующим образом: найти объемы перевозок xij для каждой пары «поставщик-потребитель», так чтобы:
Мощности всех поставщиков были реализованы.
Спросы всех потребителей были удовлетворены.
Суммарные затраты на перевозку должны быть минимальны.
Таким образом, для транспортной задачи характерны две системы ограничений:
Первая система ограничений для поставщиков
х 11+х12+…+х1n=M1
х21+х22+…+х2n=M2
…
хm1+хm2+…+хmn=Mm
Вторая система ограничений для потребителей
х 11+х21+…+хm1=N1
х12+х22+…+хm2=N2
…
х1n+х2n+…+хmn=Nn
Очевидно, что объем перевозимого груза не может быть отрицательным, поэтому следует предположить, что xij0 (i=1,..,m; j=1,…,n).
Суммарные затраты F на перевозку выражаются через коэффициенты затрат и поставки следующим образом: F=c11x11+c12x12+…+c1nx1n+…+cmnxmn
Математическая постановка задачи
На множестве неотрицательных решений систем ограничений и найти такое решение Х=(х11,х12,…,хij,…,xmn), при котором линейная функция принимает минимальное значение.
Транспортные задачи делятся на закрытые (сбалансированные) и открытые.
Закрытая модель-это частный случай транспортной задачи, при которой суммарные мощности поставщиков равны суммарным спросам потребителей.
Открытая модель-это частный случай транспортной задачи, при которой условие равенства суммарных мощностей поставщиков и суммарного спроса потребителей не выполняется.
Нахождение первоначального базисного распределения поставок
По аналогии с другими задачами линейного программирования решение транспортной задачи начинается с построения допустимого базисного распределения. Первоначальное базисное распределение поставок можно найти:
методом северо-западного угла;
методом минимального элемента;
методом Фогеля и т.д.
Проверка оптимальности распределения поставок
Базисное распределение поставок оптимально тогда и только тогда, когда оценки всех свободных клеток неотрицательны.
Правило нахождения оценок свободных клеток: к коэффициентам затрат таблицы поставок в каждой строке и столбце надо прибавить такие числа (потенциалы), чтобы коэффициенты затрат в заполненных клетках стали равными нулю. Полученные при этом коэффициенты затрат свободных клеток равны оценкам этих клеток.