Определение n-мерных векторов и действия над ними
Определение. Вектором размерности n называется упорядоченный набор из n действительных чисел. Будем записывать вектор в виде , где - координаты вектора. Размерность вектора определяется числом его координат и является его отличительной характеристикой. Векторы равны, если они одной размерно-сти и имеют равные соответствующие координаты: (2,3,5) = (2,3,5). Нуль-вектор = (0,0,…,0) не следует путать с числом нуль.
Определение. Множество всех векторов размерности n называется арифметическим n-мерным векторным пространством и обозначается Rn.
Экономические величины являются многофакторными (многомерными), и n-мерные векторы служат удобной формой их представления. Например, некоторый набор товаров различных сортов можно охарактеризовать вектором , а соответствующие цены – вектором .
Пусть
даны векторы
и
.
Определение.
Суммой векторов
и
называется
вектор
,
т.е. при сложении векторов их соответствующие
координаты складываются: (2, –4) + (–2, 4)
= (0, 0); (3,0,1) + (0,1,4)+(–1, –7,0) = (2, –6,5).
Определение.
Произведением вектора
на
число
называется
вектор
т.е.
при умножении вектора на число каждая
его координата умножается на это
число.
Можно проверить,
что введенные таким образом операции
над векторами удовлетворяют всем
свойствам операций в линейном
пространстве. Следовательно, арифметическое
n-мерное
пространство Rn
является частным случаем введенного
ранее линейного пространства.
Определение.
Скалярным произведением двух векторов
и
называется
число, равное сумме произведений
соответствующих координат векторов:
Пример:
Пусть
и
.
Тогда
.
Скалярное произведение обладает
следующими свойствами:
1.
,
причем
,
только при
2.
,
3.
,
4.
.
Определение.
Два вектора называются ортогональными,
если их скалярное произведение равно
0, т.е.
.
Пример.
Пусть
Тогда
ортогональны.
Определение.
Линейное пространство с введенным
скалярным произведением называется
евклидовым n-мерным
пространством.
Примеры:
1. Множество трехмерных векторов R3.
2. Множество
двумерных векторов R2.
3. Множество
R1
= R – множество действительных чисел.
Линейная зависимость и независимость векторов
Система
линейно
зависима
что
Система
линейно
независима
В
векторы
(1,0,0), (0,1,0) и (0,0,1) линейно независимы, так
как уравнение
имеет только одно, тривиальное, решение. Векторы (1,0,0) и (5,0,0) являются линейно зависимыми, так как
а значит
Максимальная линейно независимая подсистема векторов
О
пределение
ранга матрицы. Теорема а ранге матрицы
Теорема Строки и столбцы матрицы, элементы которых входят в базисный минор, линейно независимы. Любая строка (столбец) матрицы является линейной комбинацией этих строк (столбцов).
Доказательство (для строк).
1. Если бы базисные строки были линейно зависимыми, то с помощью эквивалентных преобразований из них можно было бы получить нулевую строку, что противоречит условию, что базисный минор не равен 0.
2. Строка, входящая в базисный минор, является линейной комбинацией его строк, в которой коэффициент при данной строке равен 1, а остальные коэффициенты равны 0.
Докажем это свойство для строки, не входящей в базисный минор.
Добавим к базисному минору эту строку (пусть ее номер – k) и любой столбец матрицы (пусть его номер – j). Затем разложим полученный определитель, равный 0 (так как его порядок больше ранга матрицы) по j-му столбцу:
Поскольку
является
базисным минором,
поэтому,
разделив полученное равенство на
,
найдем, что
для
всех j=1,2,…,n,
где
.
Следовательно, выбранная строка является
линейной комбинацией базисных строк.
Теорема доказана.
Теорема о равенстве числа векторов и двух максимально линейно независимых подсистем векторов
Вычисление ранга Матрицы методом окаймляющих миноров
Метод окаймляющих миноров.
Пусть в матрице А найден минор М k-го порядка, отличный от нуля. Рассмотрим лишь те миноры (k + 1)-го порядка, которые содержат в себе (окаймляют) минор М: если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k. В противном случае среди окаймляющих миноров найдётся ненулевой минор (k + 1)-го порядка, и вся процедура повторится.
Пример 1. Найти ранг матрицы
Фиксируем
минор 2-го порядка, отличный от нуля:
Минор
3-го порядка
,
окаймляющий минор M3 также отличен от нуля. Однако оба минора 4-го порядка, окаймляющие M3, равны нулю:
,
Поэтому ранг А равен 3: rangA = 3.
Вычисление ранга Матрицы методом элементарных преобразований.
Элементарными преобразованиями матрицы называют следующие:
1. Перестановка строк (столбцов).
2. Умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля.
3. Прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), предварительно умноженных на некоторое число.
4. Вычёркивание строки (столбца), все элементы которой равны нулю.
З а м е ч а н и е . 1) Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы; 2) матрицы, полученные одна из другой путём элементарных преобразований, называются эквивалентными (обозначаются A ~ В).
Чтобы вычислить ранг матрицы А, путём элементарных преобразований сводим её к ступенчатому виду (в частности к треугольному), выделяя наибольший минор, отличный от нуля.
A~
rangA = rangB= k
Теорема Кронекера-Капелли
Практическое решение систем на основе теоремы Кронекера-Капелли
Пример. Определить совместность системы линейных уравнений:
A
=
~
.
RgA
= 2.
A*
=
RgA*
= 3.
Система несовместна.
Пример. Определить совместность системы линейных уравнений.
А
=
;
=
2 + 12 = 14
0; RgA
= 2;
A*
=
RgA*
= 2.
Система совместна. Решения: x1 = 1; x2 =1/2.
Однородная система линейных уравнений. Свойства решений
Пример
Решим
систему
Перепишем её в матричном виде:
Путём элементарных преобразований над строками приведём её основную матрицу к ступенчатому виду:
Таким
образом ранг
системы (ранг её основной матрицы) равен
двум. Это значит, что существует
линейно
независимых
решения системы.
Перепишем полученную систему в виде уравнений:
Возьмём
и
в
качестве главных переменных. Тогда:
Подставим
по очереди единицы в качестве одной из
свободных переменных:
и
.
Тогда общее решение рассматриваемой системы может быть записано так:
,
а
вектора
составляют
фундаментальную систему решений.