2.Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функиий, т.Е. .Нетрудно видеть, что это свойство остается справедливым для любого числа слагаемых.

14. Одним из основных методов интегрирования является метод замены переменной (или метод подстановки), описываемый следующей формулой: , где — функция, дифференцируемая на рассматриваемом промежутке. Следует отмстить, что новую переменную можно не выписывать явно (в таких случаях говорят о преобразовании функции под знаком дифференциала или о введении постоянных и переменных под знак дифференциала). Теорема. Пусть F(x) некоторая первообразная для функции f(x). Тогда , где k и b— некоторые числа, k≠0. Данная теорема утверждает что если вместо аргумента х подынтегральной функции f(x) и первообразной F(x) подставить выражение (kx+b) , то это приведет к появлению дополнительного множителя 1/kперед первообразной. Интегрирование по частям. Пусть u=u(х) и v=v(x) — дифференцируемые функции. По свойству дифференциала d(uv)=vdu+udv или udv=d(uv)-vdu, получаем: . Формула называется формулой интегрирования по частям для неопределенного интеграла. При ее применении фиксируется разбиение подынтегрального выражения искомого интеграла на два сомножителя (uи dv). При переходе к правой части первый из них дифференцируется (при нахождении дифференциала: du=u'dx), второй интегрируется ( ). Возможности применения интегрирования по частям связаны с тем, что дифференцирование может существенно упростить один из сомножителей (при условии, что интегрирование не слишком усложнит другой). Анализируя разобранные примеры, можно указать следующие типы интегралов, для нахождения которых используется формула интегрирования по частям: 1. . 2.

где a, m, k-действительные числа(k≠-1), n-целое положительное число

15.О: Несобственным интегралом от функцииf(x) на полуинтервале [а, +∞) называется предел функции Ф(t) при t, стремящемся к+∞, т.е. . Если предел, стоящий в правой части равенства существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся (к данному пределу), в противном случае — расходящимся.По аналогииопределяется несобственный интеграл па полуинтервале (—∞, b]: . Определение сходимости интеграла аналогично приведенномувыше.Введем понятие несобственного интеграла на интервале (-∞,+∞). Пусть для некоторого числаа несобственные интегралы и сходятся. Тогда положим, что при этом интеграл называется сходящимся, Если хотябы один из интегралов, входящих в правую часть, расходится, то несобственный интеграл называется расходящимся. О: Несобственным интегралом от функцииу=f(х) на полуинтервале [а, b) называется предел , где >0, т.е. . Если предел, стоящий в правой части равенства, существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае — расходящимся.Аналогично вводится понятие несобственного интеграла от функции у=f(x) непрерывной, но неограниченной на (а, b]: . Замечание: Если функцияf(х) не ограничена при х=с, где cϵ(a, b)то интеграл также называется несобственным. В этом случае интеграл считается сходящимся, если сходятся два несобственных интеграла в правой части равенства. В противном случае называется расходящимся.