Вариант 5

1. Сформулировать правило произведения а) для двух множителей б) для трёх множителей. Сколько можно составить а) смешанных эстафетных команд (2 девушки, 2 юноши) из 5 девушек и 6 юношей, б) трёхзначных телефонных номеров из чётных цифр.

Теория

а) = ∙

Если из некоторого множества, первый объект х, можно выбрать m-способами, и после каждого такого выбора объект у можно выбрать n-способами, то упорядоченную пару ху можно m∙n способами.

б) |А₁ А₂ ∙ А₃| = |А₁| ∙|А₂| |А₃|

Практика

а) n₁ = 5

k₁ = 2

n₂ = 6

k₂ = 2

N = = ∙ = = = 150

б) N = = = 100

2. Формула а) произведения независимых событий. Формула вероятности суммы для б) зависимых в) независимых г) несовместных событий. Вероятность попадания первым орудием 0,6 вероятность попадание вторым 0,8. Найти а) вероятность того, что попадут оба орудия б) хотя бы одно.

ОТВЕТ

а){A и B независимы} {P(AB)=P(A)·P(B)}

б)P (A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P_A(B)

в)P (A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)

г)P(A+B)=P(A)+P(B)

Практика

Событие А – попадание первым орудием, Событие B - попадание вторым орудием

а) P(AB)=0,6×0,8=0,48

б) 1-P( )=1-(1-0,8)(1-0,6)=1-0,2·0,4=0,92

3. Дать а) определение биномиально распределённой с.в. Чему равно её б) мат. ожидание в) дисперсия. Пусть X – число выпадений 3 или 4 очков при 100 выбрасывания кости. Найти а) б) в) .

Теория

а) {X ~ B( n.p) имеет биномиальное распределение с параметрами n и p n ∈ N, p ∈ (0,1)}↔{p ( X = m) = m = }

б) M (x) = n ∙ p

в) D (x) = n ∙ p ∙ q, а что такое q???

Практика

а)M(X)= n p= 33.3

б)D(X)= n p ∙ q=100 = 22,2

в)P(X>1)= 1-P(X≤1)= 1-C₁₀₀¹ ( )¹ ( )⁹⁹ - C₁₀₀ ⁰ ( )⁰( )¹⁰⁰

4. Дать определение а) функции Лапласа . Указать б) два её свойства. Пусть , с помощью функции Лапласа записать формулу вычисления в) г) . Пусть - размер костюма у случайного покупателя. Известно, что . Определить а) процент спроса на 50-й размер в) .

ОТВЕТ

Практика

Вариант 6

1. Формула а) числа размещений б) перестановок без повторений. Сколькими способами можно а) выбрать из коллектива в 8 человек председателя, заместителя и секретаря профкома, б) рассадить 6 человек по 6 стульям.

Теория

а) = = n ∙(n-1)…(n-k∙n)

б) Формула перестановок

Практика

а) n = 8

k = 3 → размещение без повторения → = 8 ∙ 7 ∙ 6 = 336

б) n = 6

k = 6 → размещение → = 6! = 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 720

2. Определение а) геометрического случайного эксперимента, б) формула вероятности в геометрическом СЭ. Монету случайным образом бросают на квадратный стол со стороной . Какова вероятность того, что монета попадёт в а) квадрат со стороной б) круг диаметром .

ОТВЕТ

а) Пусть

1. A – СЭ, mesΩ(A) < ∞ , (Ω имеет конечную меру)

2. ωϵΩ - равновозможны

Тогда

(A, Ω) - геометрический СЭ

б)P(A)=mes(A) /mes (Ω) - формула геометрической вероятности

Практика

3. Определение а) случайной величины б) дискретной с.в. в) закона распределения дискретной с.в. г) что такое ряд распределения? Построить а) ряд распределения количества выпавших орлов при 3 подбрасываниях монеты.

Теория

а){ Х – случайная величина }↔{ Х принимает в результате испытания одно заранее неизвестное зависящее от случайных причин значение}

б) { Дискретная – Х } ↔ { Х принимает отдельные возможные значения } ↔ { Е(Х) = ( x₁ ...x_k)}

в) Пусть

1) Х :  → R - дискретная случайная величина.

Е(Х) = ( x₁ ...x_k)

2) A_k = { ω| X(ω) = x_k }

Тогда

1)p_k = P (A_k) = P(X = X_k)

2) x_k → P_k – закон распределения дискретных случайных величин.

г) Ряд распределения – это табличное задание закона распределения случайных величин

Практика

а)

х	0	1	2	3	Σ
р					1

4. Дать а) определение с.в. равномерно распределённой на [a,b], записать её б) мат. ожидание, в) дисперсию г) функцию распределения. Пусть X равномерно распределена на отрезке . Найти а) б) , в) .

ОТВЕТ

- равномерно распределена на b>a

F_x(x) =

Практика