Ряд распределения дискретной случайной величины
Заданное соответствие между возможными значениями ДСВХ и их вероятностями называется законом распределения дискретной случайной величины ; его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически. При табличном задании закона распределения дискретной случайной величины первая строка таблицы содержит возможные значения, а вторая - их вероятности:
-
Х
Р
Эта таблица
называется рядом распределения. Приняв
во внимание, что в одном испытании
случайная величина принимает одно и
только одно возможное значение, заключаем,
что события Х=х1, Х=х2, …, Х=хn - образуют
полную группу; следовательно, сумма
вероятностей этих событий, т. е. сумма
вероятностей второй строки таблицы,
равна единице:
Если множество
возможных значений Х бесконечно (счетно),
то ряд
сходится и его
сумма равна единице.
Функция распределения вероятностей случайной величины и ее свойства
Рассмотрим функцию
F(х), определенную на всей числовой оси
следующим образом: для каждого х значение
F(х) равно вероятности того, что дискретная
случайная величина
примет значение, меньшее х, т. е.
1°. Функция
распределения является неубывающей.
пусть
<
.
Так как вероятность любого события
неотрицательна, то
Поэтому из формулы
следует, что
т.е.
2°. Значения функции распределения
удовлетворяют неравенствам .
Это свойство вытекает из того, что F(x)
определяется как вероятность 3°.
Вероятность того, что дискретная
случайная величина
примет одно из возможных значений xi,
равна скачку функции распределения в
точке xi.
Плотность распределения
В качестве закона распределения, имеющего смысл только для непрерывных случайных величин существует понятие плотности распределения или плотности вероятности.Вероятность попадания непрерывной случайной величины X на участок от x до x+Dx равна приращению функции распределения на этом участке:
P{x£
X
<x+Dx}=F(x+Dx)
- F(x).Плотность
вероятности на этом участке определяется
отношением
Плотностью
распределения (или плотностью вероятности)
непрерывной случайной величины X в точке
x называется производная ее функции
распределения в этой точке и обозначается
f(x). График плотности распределения
называется кривой распределения.Пусть
имеется точка x и прилегающий к ней
отрезок dx. Вероятность попадания
случайной величины X на этот интервал
равна f(x)dx. Эта величина называется
элементом вероятности. Вероятность
попадания случайной величины X на
произвольный участок [a, b[ равна сумме
элементарных вероятностей на этом
участке:
сновные свойства
плотности распределения:Плотность
распределения неотрицательна: f(x) ³
0.Это свойство следует из определения
f(x) – производная неубывающей функции
не может быть отрицательной. 2. Условие
нормировки:
Это свойство следует из формулы (5.8),
если положить в ней x=∞.Геометрически
основные свойства плотности f(x)
интерпретируются так:
вся кривая распределения лежит не ниже оси абсцисс;
полная площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.