![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1. Матрицы. Матрицы частного вида.
- •2.Сложение матриц, умножение на число, перемножение матриц.
- •3. Определители и их свойства.
- •4. Минор и алгебраическое дополнение элемента. Методы вычисления определителей. Разложение определителя по строкам и столбцам.
- •5. Невырожденная матрица, обратная матрица.
- •7. Системы линейных уравнений.
- •8. Методы решения системы n уравнений с n неизвестными: матричный, метод Крамера.
- •9. Метод Гаусса.
- •10. Исследование системы линейных уравнений общего вида. Теорема Кромекера-Капелли.
- •12. Модель Леонтьева. Продуктивные модели Леонтьева.
- •13. Основные понятия теории многочленов. Теории Безу. Основная теория алгебры. Разложение многочленов на многочлены.
- •14. Разложение правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей.
- •15. Комплексные числа и действия над ними. Геометрическая интерпретация комплексного числа. Модуль и аргумент комплексного числа.
- •16. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная форма записи комплексного числа. Формула Эйлера. Формула Муавра. Корни n-ой степени из комплексных чисел.
- •17. Векторная алгебра. Вектор на плоскости и в пространстве. Линейные операции над векторами. Скалярное произведение.
- •18. Линейное пространство. Линейная зависимость. Системы векторов и ее геометрический смысл.
- •19. Базис и размерность линейного пространства. Координаты вектора в данном базисе.
- •20. Скалярное произведение векторов в Rn. Евклидово пространство. Неравенства Коши-Буняковского. Длины векторов и угол между векторами в Rn.
- •21.Линейные преобразования пространства Rn. Линейный оператор и его матрица.
- •22. Квадратичные формы, их матрицы в данном базисе. Приведение квадратичной формы к нормальному виду, приведение квадратичной формы к каноническому виду.
- •23.Прямая линия на плоскости. Различные виды уравнений прямой на плоскости.
- •24, 25. Классификации кривых второго порядка. Эллипс, гипербола, парабола, их свойства и канонические уравнения.
- •26. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду.
- •27. Плоскость в пространстве. Различные виды уравнений плоскости в пространстве.
- •28. Классификация поверхностей второго порядка.
- •29. Эллипсоиды, гиперболоиды, парабалоиды, их свойства и канонические уравнения.
- •30. Примеры экономико-математических моделей, приводящих к задачам линейного программирования. Основная задача линейного программирования.
- •31. Геометрическая интеграция задачи линейного программирования для двух переменных. Графический метод решения. Решение задачи линейного программирования методом перебора вершин.
- •32. Симплекс метод. Решение задач линейного программирования. Нахождение опорного плана, нахождение оптимального плана. Понятие о взаимно-двойственных задач.
- •33,34. Транспортная задача. Методы отыскания опорного плана транспортной задачи.
15. Комплексные числа и действия над ними. Геометрическая интерпретация комплексного числа. Модуль и аргумент комплексного числа.
Комплексным числом называется число z=x + iy , где x -называется действительной частью комплексного числа и обозначается x=ReZ; y называется мнимой частью комплексного числа и обозначается y=ImZ . Такая запись комплексного числа называется алгебраической формой комплексного числа. Сложение комплексных чисел
Суммой двух комплексных чисел z1=х1+iy1 и z2=х2+iy2 называется комплексное число, определяемое равенством
z1+z2=(x1+x2)+i(y1+y2).Сложение
комплексных чисел обладает переместительным
(коммутативным) и сочетательным
(ассоциативным) свойствами: z1+z2=z2+z1 ;
(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). Произведением комплексных
чисел z1 = x + yi
и z2 = c + di называется комплексное число
(xc - yd)+(xd +
yc)i. Определение произведения
устанавливается с таким расчетом, чтобы
(x + yi) и (c +
di) можно было перемножить как алгебраические
двучлены, считая при этом, что i*i =
-1. Произведение комплексных чисел
обладает свойствами: коммутативности:
z1 * z2 = z2 * z1 ; ассоциативности: (z1 * z2) * z3 =
z1 * (z2 * z3); дистрибутивности: z1 * (z2 + z3) = z1
* z2 + z1 * z3. Разностью комплексных чисел z1
= x + yi и z2 =
c + di называется комплексное число
z = z1 - z2 = (x - c) + (y
- d)i. Частное определяется
просто как обратная операция к умножению.
(x+yi)/(d
+ ci)
=
.
У
комплексных чисел есть удобное и
наглядное геометрическое представление:
число z = x + yi
можно
изображать вектором с координатами
(x; y)
на декартовой плоскости. При этом сумма
двух комплексных чисел изображается
как сумма соответствующих векторов
(которую можно найти по правилу
параллелограмма). По теореме Пифагора
длина вектора с координатами (a; b)
равна
.
Эта величина называется модулем комплексного
числа z = x + yi и
обозначается |z|.
Угол, который этот вектор образует с
положительным направлением оси абсцисс
(отсчитанный против часовой стрелки),
называется аргументом комплексного
числа z и
обозначается Arg z.
Аргумент определен не однозначно, а лишь
с точностью до прибавления величины,
кратной 2π радиан.
16. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная форма записи комплексного числа. Формула Эйлера. Формула Муавра. Корни n-ой степени из комплексных чисел.
z=x
+ iy – алгебраическая форма
комплексного числа. В тригонометрической
форме
.
Полярная координата r представляет
собой абсолютную величину комплексного
числа z (синоним – модуль комплексного
числа z.
.
В показательной форме
.
;
.
Формула
Муавра.
формула,
содержащая правило для возведения в
степень n комплексного
числа, представленного в тригонометрической
форме z = ρ (cos φ + i sin
φ); согласно М. ф., модуль ρ комплексного
числа возводится в эту степень, а аргумент
φ умножается на показатель степени.
zn =
[ρ (cos
φ + i sin
φ)] n =
ρn (cos nφ
+ i sin nφ);
современная её запись может быть легко
использована для выражения cos nφ
и sin nφ
через степени cos φ и sin φ; положив в М. ф.
ρ = 1 и приравнивая отдельно действительные
и мнимые части, получим cos nφ
= cosn φ
- Cn2 cosn-2 φ
sin2 φ
+ Cn4 cosn-4 φ
sin4 φ
-..., sin nφ
= Cn1 cosn-1 φ
sin φ - Cn3 cosn-3 φ
sin3 φ
+..., где Cnm = n!/m!(n - m)!
— биномиальные коэффициенты.
Корни. Корнем n-й степени из комплексного
числа называется такое комплексное
число, n-я степень которого равна
подкоренному числу. Для извлечения
корня из комплексного числа надо извлечь
корень из его модуля, а аргумент разделить
на показатель корня.