Равномерная сходимость.
Определение. Последовательность
{fn(x)}
сходится равномерно к функции f(x)
на множестве Х, если
.
Существенное отличие равномерной
сходимости от обычной сходимости состоит
в том, что номер N в
утверждении зависит только от
и не зависит от х. Иными словами, для
любого
найдется универсальный номер
,
начиная с которого неравенство
справедливо для всех
.
Естественно из равномерной сходимости
следует обычная сходимость, обратное
утверждение неверно.
Определение. Ряд
сходится равномерно на множестве Х,
если 
.
Лемма. Для равномерной сходимости
функционального ряда (последовательности)
на множестве Х необходима и достаточна
сходимость
.
Критерий Коши равномерной сходимости.
Определение. Функциональный ряд
(функциональная последовательность
Sn(x))
равномерно сходится в себе на множестве
Х, если
Критерий Коши равномерной сходимости. Условия равномерной сходимости и равномерной сходимости в себе эквивалентны.
Доказательство. Пусть имеет место
равномерная сходимость
.
Тогда для номеров m>n>N(
)
выполняются неравенства
.
Итак, из равномерной сходимости следует
равномерная сходимость в себе.
Обратно, пусть имеет место равномерная
сходимость. Зафиксируем
.
Для номеров m>n>N(
)
модуль
.
По критерию Коши для числовой
последовательности, существует конечный
предел
.
Фиксируем номер n в
последнем неравенстве и устремим
,
тогда при
,
сходимость равномерная.
Достаточный признак Вейерштрасса.
Теорема. Пусть при
справедлива оценка модулей элементов
функционального ряда элементами
,
такими, что ряд
сходится, тогда ряд
сходится абсолютно и равномерно на
множестве Х.
Доказательство. Абсолютная сходимость данного ряда вытекает из первого признака сравнения. Докажем равномерную сходимость. Для этого рассмотрим отрезок ряда и установим его равномерную сходимость в себе:
По критерию Коши, ряд сходится равномерно.
Достаточный признак Дирихле равномерной сходимости.
Теорема. Пусть на множестве Х для
последовательностей функций
,
выполняются следующие условия:
- на множестве Х последовательность
частичных сумм
равномерно ограничена.
- при достаточно больших номерах
равномерно,
Тогда ряд
сходится равномерно на множестве Х.
Доказательство. Обозначим константу
для равномерной ограниченности
.
Если зафиксировать аргумент х и обозначить
,
то можно будет применить неравенство,
которое было установлено при доказательстве
достаточного признака Дирихле сходимости
числового ряда:
,
тогда здесь
.
В силу последнего неравенства, из
равномерной сходимости
следует равномерная сходимость в себе
отрезка функционального ряда. По критерию
Коши, функциональный ряд произведений
равномерно сходится.
Следствие 1. Пусть на множестве Х
для последовательностей функций и чисел
выполняются следующие условия:
1) на множестве Х последовательность частичных сумм равномерно ограничена.
2) При достаточно больших номерах
сходится равномерно на множестве Х.
Следствие 2. Пусть на множестве Х
для последовательностей чисел и функций
выполняются следующие условия:
- последовательность частичных сумм
ограничена
- при достаточно больших номерах
равномерно, тогда ряд
сходится равномерно на множестве Х.