Исследование локальных экстремумов функции.

Опр. Точку называют точкой локального максимума функции если такая, что

Только в точке локального максимума приращение функции не меняет знака и отрицательно.

Опр. Точку называют точкой локального минимума функции если такая, что

Только в точке локального минимума приращение функции не меняет знака и положительно.

Точки локального строгого максимума и локального строгого минимума будем называть локальными экстремумами функции. Только в точках экстремума приращение функции не меняет своего знака.

Теорема. (Необходимые условия экстремума) Если функция дифференцируема на за исключением, быть может, конечного числа точек, и непрерывна на этом интервале, тогда для того, чтобы точка была точкой экстремума, необходимо либо чтобы , либо чтобы не существовала.

Если в точке функция дифференцируема в широком смысле, то по теореме Ферма .

Опр. Точки , в которых , называют стационарными точками функции.

Опр. Точки, в которых не существует производная, называют критическими точками функции.

И стационарные и критические точки функции называют точками, подозрительными на экстремум.

Достаточные условия экстремума.

Правило №1. Теорема. Если функция дифференцируема на и точка, подозрительная на экстремум (либо стационарная, либо критическая), тогда если при переходе через производная меняет свой знак, то экстремум, если не меняет – не является экстремумом, причем, если знак меняется с на – максимум, если с на – минимум.

По теореме Лагранжа, перемена знака.

Правило №2. Теорема. тогда в точке экстремум, причем, если минимум, если максимум.

Используем формулу Тейлора с остаточным членом Лагранжа, перемена знака или с помощью локальной формулы Тейлора.

Правило №3. Теорема. тогда, если четное, то в экстремум, причем, если то в этой точке минимум, если то максимум. Если нечетное, то экстремума в нет.

По теореме Лагранжа, перемена знака.

Нахождение глобального экстремума функции на отрезке.

Пусть непрерывна на отрезке .

Утверждение. Самые максимальное и минимальное значения функция на отрезке принимает либо в точках локального экстремума, либо в граничных точках

Теорема Ферма и свойство дифференцируемости функции.

Алгоритм нахождения глобальных экстремумов на :

1. Находим точки, подозрительные на локальный экстремум.

2. С помощью правил 1, 2, 3 исследуем эти точки на локальный экстремум.

3. Вычисляем значение в точках локального экстремума

4. Вычисляем значения функции на концах отрезка

5. Сравниваем значения на концах отрезка и в точках экстремума и выбираем самое максимальное значение – глобальный максимум и самое минимальное значение – глобальный минимум.

Выпуклость и вогнутость функции на интервале.

Точки перегиба функции.

Опр. График функции называют вогнутой вверх кривой (выпуклой вниз кривой) , если . В этом случае и саму функцию называют вогнутой вверх или выпуклой вниз.

Когда неравенство выполняется строго, функцию называют строго выгнутой вверх или строго выпуклой вниз.

Опр. График функции называют вогнутым вниз (выпуклым вверх), если . Саму функцию называют вогнутой вниз или выпуклой вверх.

Когда неравенство выполняется строго, функция строго выпуклая вверх (строго вогнутая вниз).

Опр. Точку называют точкой перегиба функции, если при переходе слева направо через точку направление выпуклости и вогнутости меняется на противоположное.

Определение выпуклости и вогнутости можно дать с помощью хорд (отрезков, соединяющих точки на кривой).

Достаточные условия выпуклости-вогнутости функции на интервале

Теорема. Если вторая производная имеет определенный знак, тогда на этом интервале функция либо выпукла, либо вогнута, причем если выпукла, если вогнута.

Используем формулу Тейлора с остаточным членом Лагранжа, перемена знака .

Вторая производная отвечает за выпуклость, вогнутость функции.

Исследование в точках перегиба.

Теорема. (Необходимое условие перегиба) Если точка точка перегиба, то необходимо, чтобы либо либо не существовала.

От противного.

Теорема. (Достаточное условие перегиба) Если в проколотой окрестности точки функция дважды дифференцируема, то если при переходе через меняет свой знак, то в точке перегиб, если не меняет, то в точке перегиба нет.

Доказывается так же, как правило №1.

Теорема. Если точка – точка, подозрительная на перегиб, тогда, если тогда в точке перегиб.

Используем формулу Тейлора с остаточным членом Лагранжа, перемена знака .