Теоремы о среднем для дифференцируемых функций.

Теорема Ферма. Если функция задана в окрестности , непрерывна в этой окрестности, и в принимает либо самое наибольшее значение в , либо самое наименьшее, если в функция дифференцируема в широком смысле, то производная в этой точке обязательно равна 0.

Функция дифференцируема в точке в широком смысле, если в этой точке существует конечная или бесконечная (определенного знака) производная.

Правая и левая производные разного знака.

В теореме Ферма важно, чтобы функция была определена в двусторонней окрестности .

Теорема Ролля. определена на и удовлетворяет условиям:

1. непрерывна на

2. дифференцируема в широком смысле на

3. На концах отрезка функция принимает равные значения:

Тогда существует хотя бы одна такая, что

Inf и sup (2 случая: равны и не равны)

Все условия теоремы Ролля важны, если хотя бы одно условие нарушается, то вся теорема становится неверной.

Теорема Лагранжа. на удовлетворяет условиям:

1. на

2. дифференцируема в широком смысле на

Тогда существует хотя бы одна такая, что .

– дифференцируемая средняя Лагранжа.

Геометрический смысл:

Рассмотрим новую функцию неопределенный множитель, на функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля.

Следствия из теоремы Лагранжа:

1. формула конечных приращений для дифференцируемой функции (точная).

выполняется теорема Лагранжа.

2. Если функция определена на промежутке и всюду внутри промежутка имеет производную, равную 0, то эта функция есть константа.

3. Если внутри промежутка имеют одинаковые производные, то

Теорема Коши. Если на удовлетворяют условиям:

1. непрерывны на .

2. дифференцируемы на .

3. .

Тогда равенство Коши .

Теорема Лагранжа есть частный случай теоремы Коши.

Аналогично теореме Лагранжа

Вычисление пределов с помощью правил Лопиталя.

Вычисление пределов вида с помощью производных функций.

Теорема 1 (Правило Лопиталя №1). Пусть функции удовлетворяют условиям:

1. Определены и непрерывны в проколотой окрестности точки , причем в этой окрестности дифференцируемы.

2. 

3. 

Тогда .

Доопределим функции удовлетворяют условиям теоремы Коши на отрезках .

Теорема 2 (Правило Лопиталя №2). Пусть функции удовлетворяют условиям:

1. определены и дифференцируемы

( определены и дифференцируемы)

2. 

( )

3. 

( )

Тогда .

Рассмотреть функции на интервале , . Замена переменной , правило Лопиталя №1.

Теорема 3 (Правило Лопиталя №3). Пусть функции удовлетворяют условиям:

1. 

2. , непрерывны и дифференцируемы.

3. 

Тогда .

Аналогично правилу Лопиталя №1.

Теорема 4 (Правило Лопиталя №4). Пусть функции удовлетворяют условиям:

1. 

2. на непрерывны и дифференцируемы.

3. 

Тогда .

Аналогично правилу Лопиталя №2.

Формула Тейлора для многочлена.

формула Тейлора для многочлена.

ее частный случай – формула Макларена.

На практике эти формулы используются для записи многочлена по соответствующим степеням.

Формула Тейлора для произвольной функции. Локальная теорема Тейлора.

Теорема. (Локальная теорема Тейлора) Если определена в , имеет в первые производных, , тогда справедлива формула (формула Тейлора): , где – остаточный член формулы Тейлора, а все первые членов – многочлен Тейлора -го порядка .

В формуле Пеано остаточный член записывается в виде

При , близких к (ошибка )

Доказать, что

Формула Макларена:

Теорема о единственности. Представление функции с помощью многочлена Тейлора единственно.

От противного.

Если исходная функция имеет в точке производную (все элементарные функции дифференцируемы на области определения сколь угодно раз), причем , тогда

Основные формулы представления элементарных функций по формуле Тейлора-Макларена.

1. Разложение геометрической прогрессии.

2. 

3. 

4. 

5. 

6. Биноминальное разложение

Глобальная теорема Тейлора. Формула Тейлора на отрезке.

Теорема. (Глобальная теорема Тейлора) Если функция на отрезке удовлетворяет следующим условиям:

1. имеет непрерывных производных на отрезке.

2. Существует конечная .

Тогда справедлива формула: , где остаточный член в формуле Тейлора на отрезке, который в форме Лагранжа записывается в виде

Аналогичная теорема справедлива для отрезка .

Рассматриваем 2 функции, удовлетворяющие условиям теоремы Коши:

Оценка остаточного члена. Вычисление функции на отрезке с помощью формулы Тейлора.

Теорема. Если -я производная ограничена на интервале , т.е. такая, что тогда

Оценка модуля остаточного члена.

Кроме формы Лагранжа существуют другие формы записи остаточного члена (формы Коши, Милна и т.д.)

Форма по Коши:

Исследование функций с помощью производных.

Критерий монотонности функции на интервале.

Теорема. Для того, чтобы дифференцируемая функция на интервале была монотонной (убывающей или возрастающей), необходимо и достаточно, чтобы на интервале была неотрицательной или неположительной, причем, если , то функция монотонно убывает на , если , то функция монотонно возрастает.

По теореме Лагранжа, перемена знака.

Теорема верна и в том случае, когда функция непрерывна, но не имеет производную в конечном числе точек

Если на , то функция на этом интервале строго монотонна, однако строгие неравенства не гарантируют необходимых и достаточных условий для монотонности.