Гладкие функции и гладкие кривые на плоскости.

Опр. Функцию называют принадлежащей к классу на множестве Х, если функция имеет на множестве Х производную и эта производная является непрерывной функцией .

Графиком этой функции является некоторая кривая (линия) на плоскости, в каждой точке которой существует касательная и положение этой касательной непрерывно меняется. Такие кривые называют гладкими кривыми

Графики всех элементарных функций являются гладкими кривыми в своих областях определения.

Опр. Непрерывную функцию называют кусочно гладкой функцией, если она в каждой точке имеет производную, которая непрерывно изменяется, за исключением конечного числа точек, в которых производная терпит разрыв I рода.

Опр. Кривую Г на плоскости, заданную параметрически, называют гладкой кривой на плоскости, если выполняются следующие условия:

1. Кривая Г задается непрерывно дифференцируемой параметризацией.

2. Все точки на этой кривой неособые, т.е. производные одновременно в 0 не обращаются .

Эллипс, гипербола – гладкие кривые.

Старшие производные и дифференциалы функций.

Опр. В у функции существует вторая производная , если этот предел существует и конечен.

– обозначение второй производной

Если вторая производная существует в каждой точке интервала , то говорят, что функция дважды дифференцируема на множестве Х.

Если вторая производная определена на интервале, то первая производная и сама функция непрерывна на этом интервале.

Опр. В у функции существует вторая производная , если этот предел существует и конечен.

Опр. Функция принадлежит классу гладкости на Х, если она имеет -ю производную, являющуюся непрерывной функцией.

– функция n раз непрерывно дифференцируема.

Дифференциалы старшего порядка для функций одной переменной.

Второй дифференциал сам является функцией переменной х.

– корректно, если функция n раз дифференцируема.

Свойства производной и дифференциала старшего порядка.

Теорема. Если раз дифференцируемы на множестве Х, тогда функции также являются раз дифференцируемыми функциями, при этом справедливы формулы:

Доказательство последних двух методом математической индукции.

Производные и дифференциалы старших порядков для сложных функций.

Теорема. Если внутренняя функция n раз дифференцируема (т.е. имеет конечные n производных), и внешняя функция так же n раз дифференцируема, то и сложная функция n раз дифференцируема (т.е. имеет производные до n-го порядка по переменной x и дифференциалы n-го порядка).

В данном случае дифференциал dy константой не является, Это функция переменной х, а dx есть константа.

Второй дифференциал не является инвариантным при замене переменной.

Форма второго дифференциала и более старших инвариантна при линейной замене переменной.

Старшие производные параметрически заданных функций.