Дифференцируемость функции в точке. Дифференциал функции. Его геометрический и физический смыслы.

Если производная существует, то приращение функции в точке записывается в виде некой линейной функции относительно плюс бесконечно малая функции более высокого порядка малости, нежели .

Опр. Функция называется дифференцируемой в , если существует константа такая, что приращение функции в этой точке представляется в виде , при этом – дифференциал функции в точке.

Теорема. Функция дифференцируема в точке тогда и только тогда, когда у функции в точке существует конечная производная, в этом случае .

Расписать через константу и бесконечно малую.

Приращение функции в точке можно записать, как

– формула приближенного вычисления функции с помощью дифференциала, при этом ошибка порядка

Величину называют дифференциалом аргумента

Для функции ,

(производная есть отношение дифференциала функции к дифференциалу аргумента)

Геометрический смысл дифференциала: приращение ординаты касательной.

Дифференциал геометрически показывает насколько прирастет ордината касательной прямой, если аргумент прирастет на .

Физический смыл дифференциала:

Физически дифференциал – это путь, который прошла бы точка, если ее движение стало бы равномерным со скоростью, взятой в момент времени t.

Связь дифференцируемости функции в точке с непрерывностью.

дифференцируема в точке

Дифференцируемая функция обязательно непрерывна в точке. Обратное несправедливо.

Опр. Функция дифференцируема на множестве Х, если

– производная от на множестве Х.

– функция дифференциала на множестве Х.

Опр. Если функция дифференцируема на множестве Х, то операцию нахождения ее производной и ее дифференциала называют дифференцированием функции.

Свойства дифференцируемых функций

1. Дифференцируемость в результате арифметических операций.

Теорема. Если и – дифференцируемые функции, то в результате арифметических операций над ними мы получим вновь дифференцируемую функцию.

1. 

2. 

3. 

4. 

По определению производной и дифференциала функции.

2. Дифференциал и производная сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала.

Теорема. Если функция дифференцируема , дифференцируема в соответствующей точке х, тогда сложная функция дифференцируема в произвольной точке х, причем

Правило. Чтобы продифференцировать сложную функцию, нужно сначала продифференцировать внешнюю функцию на промежуточной переменной, а потом умножить на производную внутренней функции.

Расписать приращение через сумму константы и б.м.ф. и разделить на .

• y – независимая переменная:

• 

При замене переменной форма дифференциала сохраняется (инвариантна).

3. Производная обратной функции

Теорема. Если функция определена в и является в ней непрерывной, строго монотонной функцией, тогда в этой окрестности определена обратная функция , которая также является строго монотонной, непрерывной функцией, причем, если исходная функция дифференцируема в , то и обратная дифференцируема в причем справедлива формула

Монотонность и непрерывность доказаны ранее, определение непрерывности через приращения (заменить в пределе), определение предела.

Геометрически формула выражает свойство: сумма углов в прямоугольной треугольнике равна (через тангенсы углов).