Верхний и нижний пределы последовательности.

Из теоремы Б-В и замечания к ней следует, что из можно выделить либо сходящуюся, либо б.б.п.

Опр. Предел какой-либо подпоследовательности данной последовательности называется частичным пределом этой последовательности.

– множество частичных пределов

Опр. Наибольший из пределов, принадлежащих , – верхний предел (

Опр. Наименьший из пределов, принадлежащих , – нижний предел (

Определение нижнего и верхнего пределов подразумевает пространство .

Теорема. (О существовании верхнего и нижнего пределов) В любая последовательность имеет свой верхний и нижний пределы.

Нижний: 1 – неограниченна снизу (по Б-В: )

2 – ограниченная снизу

• (по Б-В: )

• (

Теорема. (Критерий №3 сходимости числовой последовательности) Для того, чтобы последовательность сходилась необходимо и достаточно, чтобы

Необходимость:

Достаточность: по определению (за пределами окрестности содержится с каждой стороны конечное число членов, иначе можно было бы выделить подпоследовательности с пределами, не равными a).

Точки сгущения (предельные точки).

Опр. Точка называется предельной точкой множества Х, если

; в противном случае, а – изолированная точка множества Х.

Из определения точки сгущения следует, что в любой окрестности точки сгущения содержится бесконечное множество членов данного множества.

Основное свойство предельной точки (точки сгущения).

Лемма. Х – числовое множество, точка а – точка сгущения множества (предельная точка):

Выбираем нестационарную последовательность, уменьшая вдвое окрестность точки а, из которой берем очередной элемент.

– единственная точка сгущения множества . Именно поэтому предел последовательности находится только при (n стремится к точке сгущения).

Определение предела функции по Гейне и Коши

– произвольная функция, Х – область определения

– точка сгущения множества Х, т.о. точка а не обязательно является элементом множества Х (f(x) не обязательно определена в точке а, значения f(a) может не существовать)

Опр. (по Гейне – на языке последовательностей) , если

соответствующая последовательность значений f(x) {f(

Если предел у функции существует, то он единственен

Многие свойства пределов последовательностей переносятся на пределы функции

Значение предела не зависит от того, определена ли функция в точке

Иметь предел в точке – это локальное свойство функции, т.е. свойство, зависящее от малой окрестности точки a.

Отрицание предела по Гейне.

1. , если .

2. , если . .

Опр. (по Коши – на языке

, если

Окрестность около а берется с выколотой точкой (проколотая окрестность

Опр. (на языке окрестностей) , если

Отрицание предела по Коши.

1. , если

2. , если

Односторонние пределы функции.

Теорема. Пусть при существуют конечные односторонние пределы, которые равны между собой, тогда существует предел функции в этой точке, равный их общему значению.

По определению

Арифметические свойства предела функции в точке.

,

1. 

2. 

3. 

4. , если

Бесконечно малые функции

Опр. Функция f(x) при называется бесконечно малой, если

Теорема. Для того, чтобы функция имела конечный предел b необходимо и достаточно, чтобы

По определению (Коши)

Сравнение б.м.ф

,

Опр. 2 б.м.ф. при называются эквивалентными бесконечно малыми, если

Опр. Б.м.ф. называется бесконечно малой высшего порядка, чем б.м.ф. , если

Опр. Если

– бесконечно малые одного порядка

Второй замечательный предел.

Любое действительное число заключено между двумя натуральными (для

Первый замечательный предел.

Сравнение площадей равнобедренного треугольника, сектора и прямоугольного треугольника, определение по Коши: .

Критерий Коши для функции

Теорема. (Критерий Коши для функции) Для того, чтобы необходимо и достаточно, чтобы

Необходимость (достаточность): определение предела по Коши (Гейне)

Непрерывные функции

Опр. Функция называется непрерывной в точке , если (3 определения непрерывности функции в точке)

1. существует и равен значению функции в этой точке

2. 

3. – приращение аргумента в точке , – приращение функции.

Функция называется непрерывной в точке, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции

Непрерывность, по существу, замена пределов:

Утв. Арифметические действия не выводят из класса непрерывных функций.

f(x), g(x) непрерывные функции в точке

Из свойств предела функции в точке

Непрерывность сложной функции

Теорема. Пусть функция непрерывна в точке , функция непрерывна в точке , тогда сложная функция непрерывна в точке .

По определению предела функции по Коши

Непрерывность обратной функции

Теорема. Пусть монотонна и непрерывна на , тогда на , где существует обратная функция которая непрерывна для .

Лемма 1 непрерывна и монотонная на . , т.е. значения сплошь заполняют отрезок .

с – внутренняя точка отрезка; выбираем 2 последовательности

Лемма 2 Пусть монотонная на и ее значения сплошь заполняют , тогда непрерывна на .

От противного ( точка разрыва, двусторонние пределы)

По Лемме 1 - значения сплошь заполняют отрезок, доказать монотонность, по Лемме 2 – непрерывность.

Классификация точек разрыва

• , – разрыв I рода типа конечного скачка

• – разрыв I рода устранимый

• − разрывы II рода (среди них выделяют разрывы типа бесконечного скачка)

Свойства непрерывных функций. Обратная функция.

Биективные отображения

На декартовой плоскости графики прямой и обратной функции совпадают. Но если записать , то они симметричны относительно биссектрисы координатного угла.

Тождества:

1. 

2. 

– суперпозиция

Точки разрыва функции ищутся только среди точек сгущения области определения функции, т.е. либо в Х, либо на границе.

Свойства функций, заданных на множествах.

Теорема Вейерштрасса. Теорема Больцано-Коши.

Опр. Функция называется непрерывной на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Утв. Все элементарные функции непрерывны в области определения

Графиком непрерывной функции является кривая линия, или «нить».

: f(x) непрерывна на Х

Теорема. (Вейерштрасса) Если , то f(x) ограничена на этом отрезке и достигает на нем своих точных граней.

По определению точных граней, с выбором последовательности и подпоследовательности.

Если , то отрезок отображается в отрезок.

Теорема. (Больцано-Коши – о промежуточном значении непрерывной функции)

Если , то :

Существует по крайней мере одна точка , их может быть и больше.

Для (в противном случае аналогично). Пошагово делим отрезок на 2 равные части, выбирая ту, в которой содержится значение С. Получаем стягивающуюся систему вложенных отрезков, теорема о 2х милиционерах.

Следствие. Если непрерывная функция на концах отрезка принимает значения А и В разных знаков, то на исходном отрезке .

Замечательные следствия второго замечательного предела и непрерывности функции.

Знак предела и знак непрерывной функции переставимы.

Следствия II замечательного предела

, если

, если

, если

, если

Равномерно непрерывные функции на множестве. Теорема Кантора о равномерно непрерывной на отрезке функции.

Опр. Функция называется равномерно непрерывной на множестве Х ( если

Опр. если

Произведение 2х равномерно непрерывных функций не является равномерно непрерывной функцией.

Теорема. (Кантора)

От противного (последовательности, из второй выделить подпоследовательность , стремящуюся к )

Следствие из теоремы Кантора и теоремы о равномерной непрерывности.

Если , то для любого отрезок можно разбить на отрезки максимальная длина которых не превосходит , что колебание функции на каждом отрезке не превосходит .

Дифференциальное исчисление функции одной переменной.

Задачи, приводящие к понятию производной:

1. О мгновенной скорости движущейся материальной точки

2. О линейной плотности неоднородного линейного стержня

Понятие производной функции.

Опр. Пусть задана произвольная функция . Функция имеет в точке производную, если существует конечный предел

Если производная у функции существует в точке, то физический смысл ее есть мгновенная скорость изменения процесса в данной точке.

Обозначение производной .

Понятие производной можно обобщить.

Опр. У функции существует обобщенная производная, равная или (предел определенного знака), если существует обобщенный предел .

Если предел равен бесконечности неопределенного знака, то производная функции в точке не существует, так же как если бы предел вообще не существовал.

Если функция определена в односторонней окрестности точки :

• Правая производная функции:

• Левая производная функции:

Односторонние производные бесконечны, если односторонние пределы есть бесконечность определенного знака.

Теорема.

Доказательство из теоремы о связи односторонних пределов с двухсторонними.

Теорема верна и в случае конечной производной, и в случае бесконечной производной определенного знака

Геометрический смысл производной функции в точке.

Уравнение касательной прямой к графику функции в точке.

- на плоскости хоу задана некоторая прямая в окрестности точки .

L – секущая прямая.

, где

Опр. , то у графика функции в точке существует касательная прямая.

Геометрический смысл производной функции в точке есть угловой коэффициент касательной прямой (тангенс угла наклона касательной)..

У функции существует касательная прямая в точке, если:

1. У функции в точке существует конечная производная

2. У функции в точке существует производная в обобщенном смысле

3. У функции в точке не существует и (бесконечность неопределенного знака).

Если не существует, то и касательная к графику функции в точке не существует.