Лекція 5
4 Властивості бінарних відношень
Кожне бінарне відношення на множині Х може мати одну або кілька з приведених властивостей: рефлексивність, антирефлексивність, симетричність, анти симетричність, транзитивність, анти транзитивність.
Р
a
b
c
a
1
…
…
b
…
1
…
c
…
…
1
А
a
b
c
a
0
…
…
b
…
0
…
c
…
…
0
Матриця рефлексивного відношення на головній діагоналі містить одиниці, а для анти рефлексивного – нулі.
Симетричність. Відношення R на множині Х називається симетричним, якщо для пари (х1, х2) R2 маємо x1Rx2, і x2Rx1, тобто відношення виконується в обидва боки.
Асиметричність. Відношення R на множині Х називається асиметричним, якщо для пари (х1, х2) R2 існує x1Rx2, то не існує x2Rx1.
Антисиметричність. Відношення R на множині Х називається антисиметричним, якщо для пари (х1, х2) R2 існує x1Rx2 і x2Rx1, то x2=x1.
Приклад. Множина симетричних точок відносно осі a. Якщо точка А симетрична точці В, то і точка В симетрична точці А. тобто відношення симетричності точок відносно осі – симетричне.
Приклад. Відношення порівняння 2х дійсних чисел на знак : якщо a b і b a , то a = b, тобто відношення – антисиметричне.
П риклад. Відношення порівняння 2х дійсних чисел на знак >: якщо a > b і b > a , то a ≠ b, тобто відношення – асиметричне.
Транзитивність. Відношення R називається транзитивним, якщо з x1Rx2, і x2Rx3 виходе x1Rx3.
Антитранзитивність. Відношення R називається антитранзитивним, якщо з x1Rx2, і x2Rx3 не виходе x1Rx3.
Приклад. Відношення порівняння 2х дійсних чисел на знак або >: якщо a b і b с , то a с, тобто відношення – транзитивне.
Приклад. Розглянемо відношення m – дільник числа n: якщо 3 – є дільник числа 12, а 12 – є дільник числа 48, то 3 – є дільник числа 48. Тобто відношення транзитивне.
Приклад. Відношення «Батько» розглянуте раніше – антитранзитивне.
Завдання
Визначте, які властивості має кожне з наведених відношень. Відношення задані на множині А={1, 2, 3, 4}:
{(2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (3, 4)};
{(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)};
{(2, 4), (4, 2)};
{ (1, 2), (2, 3), (3, 4)};
{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)};
{(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 4)};
Визначте, які властивості має кожне з відношень, що зображені такими графами:
a) b) c) d)
Визначте, які властивості мають такі відношення, що задані на множині людей. Нехай (a, b)R, якщо:
а вище на зріст ніж b;
a і b народились в один день;
а є родичем b;
а знайомий з b;
Самостійна робота № 5
Тема: Відношення еквівалентності, порядку, толерантності
Мета: Засвоїти нові знання, закріпити їх при виконанні практичних завдань.
Завдання
Засвоїти теоретичний матеріал згідно теми;
Дати відповіді на поставлені питання;
Виконати письмово приведені завдання;
Випишіть питання, що виникли в ході засвоєння матеріалу;
Зробіть висновки.
Рекомендована література:
Бондаренко М.Ф. Комп’ютерна дискретна математика – Х: Компанія СМІТ, 2004р.
Новіков Ф.А. Дискретна математика для програмістів – К: Питер, 2006р