Свободные колебания системы с учетом сил сопротивления движению.

Известно, что свободные колебания не длятся очень долго. Как правило они, как говорят, затухают и довольно скоро. Причиной этому является чаще всего – сопротивление среды, в которой движутся части колебательной системы.

Обычно считают это сопротивление пропорциональным скорости. Пусть на каждую точку материальной системы действует сила сопротивления Обобщенная сила, соответствующая этим силам,

Скорость точек так как - сложная функция, а Поэтому Значит,

Обозначим Тогда обобщенная сила сопротивления

Заметим, что по форме эта функция аналогична кинетической энергии Т. Поэтому, если разложить ее в ряд Маклорена и учесть члены лишь второго порядка малости, результат получится тоже аналогичным (5): (коэффициент b также будет положительным). И тогда обобщенная сила сопротивления движению

(9)

Функция называется диссипативной или функцией рассеивания энергии системы.

После подстановки в уравнение Лагранжа , получим дифференциальное уравнение или

(10)

где - коэффициент сопротивления, - частота свободных колебаний без сопротивления.

Найдем решение уравнения (10). Характеристическое уравнение: Корни его могут быть и комплексными, и вещественными в зависимости от сопротивления, от величины коэффициента n.

а) Случай малого сопротивления (n < k).

Корни получаются комплексными где . Решение дифференциального уравнения ищем в виде

(11)

или

(12)

где постоянные и или и находятся по начальным условиям.

Сравнивая решение (12) с (2), делаем вывод, что это будут колебания, но не гармонические, так как амплитуда колебаний, равная , не постоянная, уменьшается с течением времени. Поэтому такие колебания и называются затухающими.

График таких колебаний дан на рис. 83.

Рис.83

Следует заметить, что колебательный процесс не будет периодическим. Но, так как система проходит через положение равновесия через равное время, все-таки вводят понятие периода

Если сравнить этот период колебаний с периодом колебаний системы без сопротивления (3), увидим, что сопротивление увеличивает период колебаний и уменьшает их частоту.

Интересна закономерность изменения амплитуды. Найдем отношение соседних амплитуд (через полпериода ):

То есть амплитуды уменьшаются по закону геометрической прогрессии, знаменателем которой является величина .

Натуральный логарифм ее, равный называется логарифмическим декрементом колебаний.

Конечно, через период амплитуда уменьшится в раз, а через m периодов – в раз.

б) Случай большого сопротивления (n>k).

Корни характеристического уравнения получатся вещественными: В этом случае, как известно из курса математики, решение дифференциального уравнения (10):

(13)

Решение явно неколебательное, непериодическое.

Графики таких движений показаны на рис.84. Вид движения зависит от начальных условий и величины коэффициента сопротивления n.

Рис.84

Декремент затухания, количественная характеристика быстроты затухания колебаний. Д. з. d равен натуральному логарифму отношения двух последующих максимальных отклонений х колеблющейся величины в одну и ту же сторону:

Д. з. — величина, обратная числу колебаний, по истечении которых амплитуда убывает в е раз. Например, если d = 0,01, то амплитуда уменьшится в е раз после 100 колебаний. Д. з. характеризует число периодов, в течение которых происходит затухание колебаний, а не время такого затухания. Полное время затухания определяется отношением Т/d.

Обычные величины средних значений Д. з. некоторых систем: акустической колебательной системы d " 0,1; электрические контуры d " 0,02 — 0,05; камертон d " 0,001; кварцевая пластинка d " 10^-4 — 10^-5. Отсюда видно, что, например, камертон совершает около 1000 колебаний, прежде чем амплитуда колебаний уменьшится в 3 раза (т.к. е = 2,718 " 3).

В теории вынужденных колебаний обычно вместо Д. з. пользуются понятием добротности колебательной системы Q, с которой Д. з. связан соотношением

при больших добротностях Д. з. d " p/Q.

Добротность колебательной системы, отношение энергии, запасённой в колебательной системе, к энергии, теряемой системой за один период колебания. Добротность характеризует качество колебательной системы, т.к. чем больше Д. к. с., тем меньше потери энергии в системе за одно колебание. Д. к. с. Q связана с логарифмическим декрементом затухания d; при малых декрементах затухания Q " p/d. В колебательном контуре с индуктивностью L, ёмкостью C и омическим сопротивлением R Д. к. с.

где w — собственная частота контура. В механической системе с массой m, жёсткостью k и коэффициентом трения b Д. к. с.

Добротность — количественная характеристика резонансных свойств колебательной системы, указывающая, во сколько раз амплитуда установившихся вынужденных колебаний при резонансе превышает амплитуду вынужденных колебаний вдали от резонанса, т. е. в области столь низких частот, где амплитуду вынужденных колебаний можно считать не зависящей от частоты. На этом свойстве основан метод измерения Д. к. с. Величина добротности характеризует также и избирательность колебательной системы; чем больше добротность, тем уже полоса частот внешней силы, которая может вызвать интенсивные колебания системы. Экспериментально Д. к. с. обычно находят как отношение частоты собственных колебаний к полосе пропускания системы, т. е. Q = w/Dw. Численные значения Д. к. с.: для радиочастотного колебательного контура 30—100; для камертона 10000; для пластинки пьезокварца 100000; для объёмного резонатора СВЧ колебаний 100—100000.

Установившиеся вынужденные колебания

В течение некоторого времени после включения синусоидальной внешней силы (на протяжении переходного процесса) осциллятор успевает «забыть» свое начальное состояние, его колебания приобретают стационарный характер, и осциллятор в конце концов совершает незатухающие синусоидальные колебания на частоте внешнего воздействия — установившиеся вынужденные колебания. Эти установившиеся колебания описываются периодическим частным решением неоднородного дифференциального уравнения (4):

ϕ(t) = a sin(ωt + δ). (5)

Установившиеся колебания характеризуются определенными постоянными значениями амплитуды a и сдвига фаз δ между колебаниями ротора осциллятора и возбуждающего шатуна. Величины a и δ зависят от близости частоты внешнего воздействия ω к собственной частоте осциллятора ω 0 . Зависимости a(ω) и δ(ω) от частоты внешнего воздействия называют соответственно амплитудно-частотной и фазо-частотной характеристиками осциллятора. При относительно слабом трении (при γ ¿ ω 0 , т. е. при Q À 1) зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты имеет ярко выраженный резонансный характер — амплитуда резко возрастает при приближении ω к собственной частоте ω 0 . График зависимости амплитуды установившихся колебаний от частоты ω называют резонансной кривой. Чем выше добротность Q осциллятора, тем острее пик резонансной кривой, т. е. тем сильнее выражены резонансные свойства осциллятора.

Резона́нс (фр. resonance, от лат. resono — откликаюсь) — явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний, которое наступает при приближении частоты внешнего воздействия к некоторым значениям (резонансным частотам), определяемым свойствами системы. Увеличение амплитуды — это лишь следствие резонанса, а причина — совпадение внешней (возбуждающей) частоты с внутренней (собственной) частотой колебательной системы. При помощи явления резонанса можно выделить и/или усилить даже весьма слабые периодические колебания. Резонанс — явление, заключающееся в том, что при некоторой частоте вынуждающей силы колебательная система оказывается особенно отзывчивой на действие этой силы. Степень отзывчивости в теории колебаний описывается величиной, называемой добротность. Явление резонанса впервые было описано Галилео Галилеем в 1602 г в работах, посвященных исследованию маятников и музыкальных струн.

Среда называется упругой, если между ее частицами существуют силы взаимодействия, препятствующие какой-либо деформации этой среды. Когда какое-либо тело совершает колебания в упругой среде, то оно воздействует на частицы среды, прилегающие к телу, и заставляет их совершать вынужденные колебания. Среда вблизи колеблющегося тела деформируется, и в ней возникают упругие силы. Эти силы воздействуют на все более удаленные от тела частицы среды, выводя их из положения равновесия. Постепенно все частицы среды вовлекаются в колебательное движение.

Тела, которые вызывают распространяющиеся в среде упругие волны, являются источниками волн (колеблющиеся камертоны, струны музыкальных инструментов).

Упругими волнами называются механические возмущения (деформации), производимые источниками, которые распространяются в упругой среде. Упругие волны в вакууме распространяться не могут.

При описании волнового процесса среду считают сплошной и непрерывной, а ее частицами являются бесконечно малые элементы объема (достаточно малые по сравнению с длиной волны), в которых находится большое количество молекул. При распространении волны в сплошной среде частицы среды, участвующие в колебаниях, в каждый момент времени имеют определенные фазы колебания.

Геометрическое место точек среды, колеблющихся в одинаковых фазах, образует волновую поверхность.

Волновую поверхность, отделяющую колеблющиеся частицы среды от частиц, еще не начавших колебаться, называют фронтом волны В зависимости от формы фронта волны различают волны плоские, сферические и др.

Линия, проведенная перпендикулярно волновому фронту в направлении распространения волны, называется лучом. Луч указывает направление распространения волны.;;

В плоской волне волновые поверхности представляют собой плоскости, перпендикулярные к направлению распространения волны (рис. 15.1). Плоские волны можно получить на поверхности воды в плоской ванночке с помощью колебаний плоского стержня.

Рис. 15.1

В сферической волне волновые поверхности представляют собой концентрические сферы. Сферическую волну может создать пульсирующий в однородной упругой среде шар. Такая волна распространяется с одинаковой скоростью по всем направлениям. Лучами являются радиусы сфер (рис. 15.2).

Рис. 15.2

Динамика волн

Колебания, возбужденные в какой-либо точке среды (твердой, жидкой или газообразной), распространяются в ней с конеч­ной скоростью, зависящей от свойств среды, передаваясь от одной точки среды к другой. Чем дальше расположена частица среды от источника колебаний, тем позднее она начнет колебаться. Иначе говоря, увлекаемые частицы будут отставать по фазе от тех частиц, которые их увлекают.

При изучении распространения колебаний не учитывается дискретное (молекулярное) строение среды. Среда рассматривается как сплошная, т.е. непрерывно распреде­ленная в пространстве и обладающая упру­гими свойствами.

Итак, колеблющееся тело, помещенное в упругую среду, является источником колебаний, распространяющихся от него во все стороны. Процесс распространения колебаний в среде называется волной.

При распространении волны частицы среды не движутся вместе с волной, а колеблются около своих положений равновесия. Вместе с волной от частицы к частице передается лишь состояние колебательного движения и энергия. Поэтому основным свойством всех волн, независимо от их природы, является перенос энергии без переноса вещества.

Волны бывают поперечными (колебания происходят в плоскости, перпендикулярной направлению распространения) и продольными (сгущение и разрежение частиц среды происходит в направлении распространения).

Граница, отделяющая колеблющиеся частицы от частиц еще не начавших колебаться, называется фронтом волны.

В однородной среде направление распространения перпендикулярно фронту волны (рис. 5.1).

Рис. 5.1

Расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной волны l:

,

(5.1.1)

где υ – скорость распространения волны, – период, ν – частота. Отсюда скорость распространения волны можно найти по формуле:

.

(5.1.2)

Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью. Волновую поверхность можно провести через любую точку пространства, охваченную волновым процессом, т.е. волновых поверхностей бесконечное множество. Волновые поверхности остаются неподвижными (они проходят через положение равновесия частиц, колеблющихся в одинаковой фазе). Волновой фронт только один, и он все время перемещается.

Волновые поверхности могут быть любой формы. В простейших случаях волновые поверхности имеют форму плоскости или сферы, соответственно волны называются плоскими или сферическими. В плоской волне волновые поверхности представляют собой систему параллельных друг другу плоскостей, в сферической волне – систему концентрических сфер.

Волновое уравнение, дифференциальное уравнение с частными производными, описывающее процесс распространения возмущений в некоторой среде. В случае малых возмущений и однородной изотропной среды В. у. имеет вид:

где х, у, z — пространственные переменные, t — время, u = u (х, у, z) — искомая функция, характеризующая возмущение в точке (х, у, z) в момент t, а — скорость распространения возмущения. В. у. является одним из основных уравнений математической физики и широко используется в приложениях. Если u зависит только от двух (одной) пространственных переменных, то В. у. упрощается и называется двумерным (одномерным). В. у. допускает решение в виде "расходящейся сферической волны":

u = f (t - r/a)/r,

где f — произвольная функция, a

СКОРОСТЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ УПРУГИХ ВОЛН

(V) — скорость распространения фазы упругого возмущения в разл. упругих средах. В неограниченных изотропных средах упругие волны распространяются адиабатически, без дисперсии. В анизотропных средах могут возникать волны с разл. частотой. В твердых телах (г. п., м-лы) могут распространяться продольные волны V_p,обусловленные деформациями сжатия-растяжения; поперечные волны V_s,вызываемые деформациями сдвига, и поверхностные волны Релея. В жидкостях поперечные волны не возникают. Для идеально упругих сред, к которым относится большинство м-лов и т.п., установлена связь V с плотностью о и др. упругими параметрами—модулем Юнга Е и Пуассона коэф.ц:

Единицы измерения V : в СИ — м/сек, в СГС — см/сек, на практике км/сек.