Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница.
а)
свойства определенного интеграла: I.
Свойства неопределенного интеграла
распространяются и на определнный. II.
1)
При перестановке пределов интегрирования
знак определенного интеграла меняется
на противоположный; 2)
Если a
и b
равны, то определенный интеграл равен
0; 3)
Если промежуток интегрирования [a;b]
разбит на частичные промежутки, то
определенный интеграл, взятый по [a;b]
равен сумме определенных интегралов,
взятых по всем его частичным промежуткам;
4)
Теорема о среднем.
Определенный интеграл от непрерывной
функции f(x)
равен произведению длины промежутка
[a;b]
на значение ф-ции f(c),
где С – некоторая точка, 
.
Всегда можно подобрать такую точку С,
чтобы SaABb=SaDEb.
Среднее
значение ф-ции f(x)
на промежутке [a;b]
= определенному интегралу от этой ф-ции,
вычисленному в пределах от a
до b
и разделенному на длину этого промежутка.
б)
Формула Ньютона-Лейбница: пусть F(x)
– некоторая первообразная f(x).
f(x)=F’(x)
при 
.
a – Нижний предел интегрирования, b – верхний; [a;b] – промежуток интегрирования.
F(b)-F(a)
– приращение первообразной ф-ции на
промежутке [a;b].
F(b)
– значение первообразной F(x)
при x=b.
F(a)
– значение первообразной F(x)
при x=a.
F(x=b)+c-(F(x=a)+c)=F(b)-F(a);
F(b)-F(a)=F(x)
тоже формула Н-Л
; также – символ-вставка
Метод замены переменной интегрирования в определенном интеграле.
-
Часто для упрощения вычисления интеграла
приходится делать подстановку вида
x=ϕ(t);
ψ(x)=t;
ψ(x)=
ϕ(t).
Интервал [α;β]
соответствует интервалу [a;b];
;
ϕ(α)=a
, ϕ(β)=b.
- При подстановке в определенный интеграл должны соблюдаться условия: f(x)
непрерывна на интервале [a;b]; ϕ(t) и ϕ’(t) непрерывны на интервале [α;β].
-Пределы интегрирования α и β находятся так: в подстановке x=ϕ(t) переменную х заменяем нижним пределом a и решаем уравнение ϕ(t)=аю Найденное значение T и будет новым нижним пределом α. Аналогично с β. После вычисления преобразованного определенного интеграла нет необходимости переходить к прежней переменной.
Метод интегрирования по частям для определенного интеграла. Самоприводящиеся интегралы.
UV’=(UV)’-VU’
; U=U(x);
V=V(x);
Интегрирование производится по
переменной x,
а не по U
и V.
Например:
Самоприводящиеся интегралы: см. 4 билет и формулы в табл. интегралов (№16,17,18 в лекциях).
Вычисление площади плоской фигуры в прямоугольных координатах.
Известно, что значение определенного интеграла равно площади криволинейной трапеции, соответствующей этому интегралу.
Пример: найти площадь фигуры-эллипса с полуосями a и b.
-
S
эллипса=4Soba;
каноническое уравнение эллипса: 
;
.
y=
+
;
Soba=
(данный интеграл уже вычисляли, он равен
.
Soba=
;
Sэллипса
=Пab;
- для круга a=b=R; Sкруга=ПR2
Рассмотрим фигуру, ограниченную линиями сверху y=f(x)>0, снизу y=φ(x)>0, слева x=a, справа x=b.
Sabcd=SaBCb-SaADb=
(эта формула справедлива и для остальных
случаев).
Несобственные интегралы от непрерывных функций по бесконечному промежутку интегрирования.
Несобственные интегралы от неограниченных функций. Промежуток интегрирования конечен (билет делать не надо).
Случайные явления. Предмет – теория вероятностей. Классификация случайных событий. Классическое определение вероятностей.
Сумма и произведение событий.
Вероятность суммы несовместных событий.
Вероятность произведения независимых событий.
Вероятность произведения зависимых событий.
Вероятность гипотез. Формула полной вероятности.
Формула Бейеса (формула гипотез).