1. Д ифференциал функции и дифференциал независимой переменной. Таблица производных, интегралов и их взаимосвязь.

а) производная: f(x)=y дифференцируема в X₀; Определение производной

б) дифф-л функции: dy = f'(x) * Δx Формула дифференциала,

Δx-изменение ф-ции. Более подробно ↓

• Геометрически дифференциал представляет собой приращение ординаты касательной при переходе от точки Х₀ к точке Х₀+ΔХ

в) Дифференциалом независимой переменной Х называется приращение ΔХ к этой переменной. dx=Δx; dy = f'(x) * dx дифференциал аргумента. Дифф-ал dy является функцией двух независимых переменных; изменение значения Х не влияет на значение dx. ; x=x₀+dx; f(x₀+dx)=f(x0) + f’(x₀)*dx (dF(x) = f’(x)dx !!!!!)

• Инвариантность дифференциала: он определяется одной и той же формулой независимо от того, является ли её аргумент независимой переменной или является функцией аргумента.

г) взаимосвязь таблиц: интегрирование является операцией,

обратной дифференцированию.

2. Основные свойства неопределенного интеграла. Способ непосредственного интегрирования.

Совокупность всех первообразных F(x)+c для данной функции f(x) на некотором промежутке Х называется неопределенным интегралом от ф-ции f(x) на этом промежутке; обозн-тся Интегрирование – процесс нахождения первообразной для подынтегральной функции. Геометрически неопред-ый ᶴ представляет собой семейство «паралл-ых» линий.

а) основные свойства: 1) производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции. ( )’=F’(x)=f(x); 2) неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции + некоторая произвольная постоянная ; 3) если а – постоянная величина, то ; 4) Интеграл от алгебраической суммы функций равен алг. сумме интегралов от слагаемых ф-ции; 5) Инвариантность формул интегрирования (всякая формула интегр-ния справедлива независимо от того, является ли переменная интегр-ния независимой или же дифференц-мой ф-цией от независимой переменной. , выводим, что или .

Способ непосредственного интегрирования применим к интегралам, которые не требуют предварит-х преобразований спец. методами (по частям и подстановки).

Метод интегрирования, при котором интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредственным интегрирования.

3. Метод замены переменной интегрирования.

М-д замены = м-д подстановки, широко используется при интегрировании иррац-ных ур-ний; новая переменная выбирается так, чтобы избавиться от иррациональности; основа – св-во инвариантности формул интегрирования.Суть: при помощи надлежащим образом подобранной замены переменной интегрирования данное отынтегральное выражение преобразуется, и интеграл приводится либо к табличному, либо к более простому инт-лу.

В соответствии со свойствами инвар-ти сделаем замену: x = φ(t), тогда ; dφ(t)=φ’(t)dt;

После интегрирования по переменной t нужно в полученном результате перейти от переменной t к переменной х, используя зависимость х=φ(t), поэтому ф-ция f(t)должна иметь обратную функцию, чтобы можно было выразить t через x. (Помимо формы x=f(t) часто используется форма замены переменной φ(x)=t; также подстановка ψ(x)=φ(t), требования, как к первым двум).

Обе функции должны иметь непрерывные производные и обратные функции в области опр-ния подынт-й ф-ции.

*при интеграровании выражений, явл-ся ф-цией от (x, ) или (x, ) целесообразно использовать тригонометрические подстановки (напр. x=2sinT