
- •5 Экстремум функции двух переменных
- •7 Бесконечным числовым рядом называется выражение
- •9 Признак Даламбера Признак Даламбера.
- •Интегральный признак Коши.
- •Интегральный признак Коши
- •Достаточные признаки условной сходимости числового ряда. Признак Лейбница.
- •13. Исследование знакопеременных рядов на абсолютную сходимость.
Интегральный признак Коши.
Пусть
-
знакоположительный числовой ряд.
Составим функцию непрерывного аргумента
y = f(x),
аналогичную функции
.
Пусть функция y
= f(x)
положительная, непрерывная и убывающая
на интервале
,
где
).
Тогда в случае сходимости несобственного
интеграла
сходится
исследуемый числовой ряд. Если же
несобственный интеграл расходится, то
исходный ряд тоже расходится.
При
проверке убывания функции y
= f(x) на
интервале
Вам
может пригодится теория из раздела
возрастание
и убывание функции.
Пример.
Исследуйте
числовой ряд с положительными членами
на
сходимость.
Решение.
Необходимое
условие сходимости ряда выполнено, так
как
.
Рассмотрим функцию
.
Она положительная, непрерывная и
убывающая на интервале
.
Непрерывность и положительность этой
функции не вызывает сомнения, а на
убывании остановимся чуть подробнее.
Найдем производную:
.
Она отрицательная на
промежутке,
следовательно, функция убывает на этом
интервале.
Таким
образом, функция удовлетворяет всем
условиям интегрального признака Коши.
Воспользуемся им:
То
есть, несобственный интеграл расходится,
следовательно, расходящимся является
исходный числовой ряд.
Интегральный признак Коши
Постановка решения. Исследовать сходимость ряда с положительными членами
,
где
,
причем первообразная функции
легко
вычисляется.
План решения.
Если
,
причем первообразная функции
легко
вычисляется, то применяем интегральный
признак Коши:
Если
функция
,
принимающая в точках
значения
,
убывает в некотором промежутке
,
то ряд
и
несобственный интеграл
либо
оба сходятся, либо оба расходятся
одновременно.
1. Проверяем,
что
,
т.к. если
,
то ряд расходится, т.к. не выполнено
необходимое условие сходимости ряда.
2. Упрощаем,
если требуется, выражение для
,
т.е. будем исследовать сходимость ряда
,
такого, что
при
и
выбраны
так, чтобы функция
имела
очевидную первообразную
.
Затем используем вторую
теорему сравнения.
3. Исследуем сходимость несобственного интеграла по определению
.
4. Применяем интегральный признак Коши к ряду
и затем делаем вывод о сходимости или расходимости исходного ряда , используя вторую (предельную) теорему сравнения.
Замечание.
Интегральный признак Коши применяется
в частности к рядам вида
.
Задача 7. Исследовать на сходимость ряд.
.
Сравним
данный ряд с рядом
.
Мы можем это сделать согласно предельному
признаку сравнения:
.
Воспользуемся интегральным признаком Коши:
Ряд сходится, значит сходится и исследуемый ряд.
12 необходимое условие сходимости ряда
Достаточные признаки условной сходимости числового ряда. Признак Лейбница.
Если
абсолютные величины членов знакочередующегося
ряда монотонно убывают
и
предел модуля общего члена ряда равен
нулю при
,
то ряд
сходится.
Пример.
Определите
характер сходимости знакочередующегося
числового ряда
.
Решение.
Ряд
из абсолютных величин членов имеет вид
.
Для него выполняется необходимое условие
сходимости
.
Возьмем гармонический ряд
и
воспользуемся вторым признаком
сравнения:
Таким
образом, ряд из модулей
-
расходящийся.
В свою очередь,
знакочередующийся ряд
сходится,
так как выполняются условия признака
Лейбница: последовательность
монотонно
убывает и
.
Следовательно,
исходный ряд условно сходящийся.
Последовательность u1+u2+...+un+... сходится, когда общий член ряда un стремится к нулю:
Lim un = 0
n->∞
Это неободимое, но не достаточное условие. Например, гармонический ряд 1+1/2+1/3+1/4+ расходится. Здесь общий член стремится к 0, а частичная сумма неограниченно возрастает.
положительный ряд
ряд, все члены которого положительны. Если его частичные суммы имеют предел, то положительный ряд сходится, иначе расходится.