Сопряжённые числа

Геометрическое представление сопряжённых чисел

Если комплексное число z = x + iy, то число   называется сопряжённым (или комплексно сопряжённым) к z (обозначается также z ^* ). На комплексной плоскости сопряжённые числа получаются зеркальным отражением друг друга относительно вещественной оси. Модуль сопряжённого числа такой же, как у исходного, а их аргументы отличаются знаком.

Переход к сопряжённому числу можно рассматривать как одноместную операцию; перечислим её свойства.

 (сопряжённое к сопряжённому есть исходное).

Обобщение:  , где p(z) — произвольный многочлен с вещественными коэффициентами.

Тригонометрическая форма

Если вещественную x и мнимую y части комплексного числа выразить через модуль r = | z | и аргумент   (x = rcos φ, y = rsin φ), то всякое комплексное число z, кроме нуля, можно записать в тригонометрической форме

z = r(cos φ + isin φ).

4) Действия на комплексными числами в тригонометрической форме. Умножения, деление, возведение в степень и извлечение корней. Корень из 1

Лемма 4 Пусть комплексные числа z₁ и z₂ записаны в тригонометрической форме: z₁ = r₁(cos ϕ + isinϕ), z = r₂(cos ψ + isinψ). Тогда z₁z₂ = r₁r₂(cos(ϕ + ψ) + isin(ϕ + ψ)).

Следствие 1 Пусть z₁, z₂ ∈ C. Тогда |z₁ · z₂| = |z₁| · |z₂| и arg(z₁ · z₂) = arg(z₁) + arg(z₂).

Предложение 7 При умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Таким образом, справед- ливы следующие равенства

^{1) |z}1^z2 ^{. . . z}n^{| = |z}1^{| · |z}2^{| · . . . · |z}n^|.

^{2) arg(z}₁^z₂ ^{. . . z}_n^{) = arg(z}₁^{) · +arg(z}₂^{) + . . . + arg(z}_n^).

^{Здесь n ≥ 2 любое целое число.}

Формула Муавра имеет вид:

zⁿ = [r(cos φ + isin φ)]ⁿ = rⁿ(cos nφ + isin nφ),

где r — модуль, а   — аргумент комплексного числа. В современной символике она опубликованаЭйлером в 1722 году. Приведенная формуле справедлива при любом целом n, не обязательно положительном.

Аналогичная формула применима также и при вычислении корней n-ой степени из ненулевого комплексного числа:

z^{1 / n} = [r(cos(φ + 2πk) + isin(φ + 2πk))]^{1 / n} =

Отметим, что корни n-й степени из ненулевого комплексного числа всегда существуют, и их количество равно n. На комплексной плоскости, как видно из формулы, все эти корни являются вершинами правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса   с центром в начале координат

Корни из 1 Корни степени из единицы принято обозначать ε0, ε1, . . ., εn−1. Предложение 9 Все комплексные корни степени n из 1 можно найти по формуле εk = cos где k = 0, 1, 2, . . . , n − 1. Несложно проверить, что все комплексные корни степени n из 1 лежат в вершинах правильного n-угольника. Этот n-угольник вписан в единичную окружность с центром в начале координат и одна из его вершин лежит в точке с координатаами (1, 0).

5) Действия над многочленами в алгебраической форме .Теорема о деление в кольце многочленов

Предложение 1 Сумма и произведение двух многочленов являются многочленами. При этом:

^{1) deg (f(x) + g(x)) ≤ max{deg f(x), deg g(x)}.}

^{2) deg (f(x) · g(x)) = deg f(x) + deg g(x).}

Теорема о делении с остатком

Деление с остатком в кольце целых чисел. Пример: деление многочленов уголком.

Теорема 1 Пусть f (x) и g(x) два многочлена, причем g(x) нену- левой многочлен. Тогда существуют и единственны такие многочлены q(x) и r(x), что f (x) = g(x)q(x) + r(x) и deg r(x) < deg g(x) или g(x) нулевой многочлен.

Многочлен f (x) называют делимым, g(x) - делителем, q(x)

неполным частным, r(x) - остатком при делении f (x) на g(x).