24. Остов графа. Примеры.

Для любого графа определяется понятие остовного дерева (остова) – суграф данного графа, являющийся деревом. Количество остовов дерева можно вычислить через измененную матрицу смежности: 1) изменяем у всех элементов знаки на противоположные; 2) главную диагональ заменяем на степени соответствующих вершин; 3) вычисляем алгебраические дополнения главной диагонали (у всех элементов они равны), значение которых и есть количество остовов.

25. Центральные и бицентральные деревья. Радиус и диаметр дерева. Примеры.

Длина максимальной ветки дерева называется его высотой (h).

Расстояние от корня до вершины - уровень вершины (ребра).

Вершины одного уровня – ярус дерева.

Висячие вершины (ребра) имеют I уровень.

Вершина(-ы) максимального уровня называются центром (-ами) дерева.

Если в дереве 1 центр, то оно центрально, если 2 центра, то бицентрально.

Цепи, проходящие через центр(ы), называются диаметральными, а наибольшая из них – диаметр дерева.

Каждая вершина дерева имеет кортеж (последовательность натуральных чисел)- количество вершин соответствующей ветки.

Кортежи центров называются центральными.

Длина кортежа равна своему первому числу.

У изоморфных деревьев центральные кортежи совпадают.

26. Эйлеровы цепи и циклы. Эйлеровы графы. Теорема Эйлера. Примеры.

Граф, в котором есть замкнутая цепь (в орграфе – контур), называется графом с циклом. В графе может быть несколько циклов. Каждое ребро графа может принадлежать сразу нескольким циклам.

Количество циклов в графе называется цикломатическим числом.

Ясно, что цикломатическое число дерева =0.

Степень числа – количество инцидентных ему ребер. Валентность – степень с учетом двойного вхождения петли.

Обход графа – некоторое перечисление всех его вершин и (или) ребер.

В конечном связном графе всегда можно построить ориентированный цикл, проходящий через каждое ребро по одному разу в каждом направлении (обход ребер графа).

Простой цикл, содержащий все ребра графа ровно один раз, называется эйлеровым.

Граф, содержащий хотя бы один эйлеров цикл, называется эйлеровым графом.

На диаграмме эйлеров граф можно провести, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя одно и то же ребро дважды.

Теорема Эйлера: конечный неориентированный граф эйлеров тогда и только тогда, когда

1. он связен;

2. он нетривиален (не состоит только из одной вершины);

3. каждая вершина имеет четную валентность;

4. множество ребер можно разбить на простые циклы.

Доказательство:

1. в несвязном графе невозможно построить цикл, проходящий по всем ребрам,  граф должен быть связен;

2. тривиальный граф не имеет ребер,  нет возможности построить цикл;

3. при построении обхода графа будем задавать ребрам направления, тогда в любой вершине у каждого входа должен быть выход, иначе цикла не получится. Эйлеров граф может иметь кратные ребра, петли в нем не имеют смысла.

4. из 2. , что удаление одного цикла превращает граф в эйлеров граф (сохраняет четность валентности вершин) или в пустой граф, но никак не в дерево, т.е. в эйлеровом графе множество ребер можно разбить на простые циклы.

Простая открытая цепь, проходящая по всем ребрам графа, называется эйлеровой цепью.

Для наличия в графе эйлеровой цепи необходимо, чтобы граф был связен, и степени промежуточных вершин были четными. Вершины с нечетными степенями будут концами этой цепи. Для нахождения наименьшего количества эйлеровых цепей в графе достаточно количество вершин нечетной степени поделить пополам.

Для орграфа эйлеровость характеризуется равенством входов и выходов.

В любом графе число вершин нечетной степени четно.