- •Основные понятия теории множеств. Способы задания множеств. Мощность множества. Примеры.
- •Операции с множествами. Свойства операций.
- •Подмножества. Булеан. Мощность булеана. Разбиение, покрытие и дизъюнктивный класс. Примеры.
- •Прямое произведение множеств. Мощность прямого произведения множеств.
- •Соответствие двух множеств. Виды соответствий. Равномощные множества. Примеры.
- •Многоместные отношения. Способы задания бинарных отношений. Композиция отношения. Примеры.
- •Виды отношений. Ядро отношения. Примеры.
- •Свойства отношений. Примеры. Теорема о свойствах отношений.
- •R рефлексивно I r
- •R транзитивно rr r
- •R антисимметрично rr-1I
- •Замыкание отношения. Примеры.
- •Отношение эквивалентности. Примеры. Классы эквивалентности.
- •Отношение порядка. Примеры.
- •Две теоремы о матрицах отношений.
- •Алгебра. Свойства алгебраических операций.
- •Морфизмы алгебр. Виды морфизмов.
- •Функция. Виды функций. Формулы.
- •Способы задания функций.
- •Основные понятия теории графов. Классификация вершин и дуг графа. Отношения связности и инцидентности в графе. Виды графов: полный, безреберный, орграф, мультиграф, двудольный граф.
- •Изоморфные графы. Примеры.
- •Способы задания графов. Матрицы и диаграмма графа. Примеры.
- •Части графа: подграф, суграф, дополнительный граф. Операции с частями графа. Примеры.
- •Маршрут, цепь, цикл. Отношение связности в графе. Компоненты связности. Примеры.
- •Разрезы и разделяющие множества графа. Примеры.
- •Дерево и лес. Свойства деревьев. Диаметр и радиус дерева. Примеры.
- •Остов графа. Примеры.
- •Центральные и бицентральные деревья. Радиус и диаметр дерева. Примеры.
- •Эйлеровы цепи и циклы. Эйлеровы графы. Теорема Эйлера. Примеры.
- •Гамильтоновы цепи и циклы. Гамильтоновы графы. Примеры.
- •Раскраски графа. Хроматические характеристики: хроматическое число, хроматический индекс, тотальный минимум. Примеры.
- •Укладка графа на плоскости. Планарность графа. Примеры.
- •Критерии планарности графов.
- •Булева алгебра. Переключательные функции (пф). Примеры. Количество наборов и пф от n переменных. Фиктивные переменные.
- •Способы задания пф. Таблица истинности. Формулы и суперпозиции. Равносильные формулы. Семантические деревья.
- •Пф от одной и двух переменных. Сигнатура булевой алгебры. Выражение функций от двух переменных через дизъюнкцию, конъюнкцию и отрицание.
- •Свойства пф.
- •Двойственность функций. Принцип двойственности. Принцип двойственности для алгебры логики.
- •Разложение пф по переменным.
- •Дизъюнктивная и конъюнктивная нормальные формы. Совершенные формы. Получение скнф из сднф.
- •Минимизация функций в классе днф. Пример минимизации методами Квайна и сочетания индексов.
- •Функционально полные системы (фпс) пф. Замыкание фпс пф. Примеры базисов.
- •Замкнутые классы пф. Классификация замкнутых классов.
- •Теорема Поста о функциональной полноте систем пф.
Основные понятия теории множеств. Способы задания множеств. Мощность множества. Примеры.
МНОЖЕСТВО является неопределимым понятием математики как точка, прямая и плоскость. Вы столкнетесь с ним практически во всех науках – математике, физике, химии, истории и т.д. Множество можно описать как совокупность некоторых объектов (элементов множества), объединенных по какому-либо признаку.
ПРИМЕР. N={1, 2, 3, …}; Z={… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}; множество геометрических тел; множество геометрических фигур; алфавит; множество парт в аудитории; множество продуктов в магазине и т.д.
Множество, элементами которого являются другие множества, называется КЛАССОМ или СЕМЕЙСТВОМ.
В классе все элементы имеют различную природу образования, но у них есть хотя бы одно общее свойство.
ПРИМЕР. Семейство АУДИТОРИЯ имеет следующие элементы:
Множество парт
Множество ламп
Множество элементов питания
Множество студентов и т.д.
Заметим, что элемент «множество студентов» непостоянный. Его может и не быть в данном классе. Тем не менее, все они присутствуют в аудитории.
ОБОЗНАЧЕНИЯ: элементы множеств – строчные латинские символы с натуральными индексами;
множества – заглавные печатные латинские буквы;
семейства – заглавные «рукописные» латинские буквы.
В общем – то, особого значения обозначению класса и множества не придается.
Множества могут быть конечными (состоящими из конечного числа элементов) и бесконечными. Количество элементов в конечном множестве называется его мощностью и обозначается |А|. О мощности бесконечного множества мы поговорим позднее.
Множество нулевой мощности, не содержащее элементов, называется пустым и обозначается . Оно введено для удобства: лучше сказать, что множество пусто, чем объявить его несуществующим. В нашем примере множество студентов в аудитории может быть пустым.
Множества, имеющие одинаковое количество элементов, называются равномощными.
Класс всех рассматриваемых множеств называется универсальным множеством или универсумом (обозначается U).
Элементы множества не могут повторяться: А={1,2,1,4,6} не является описанием множества. Сразу возникает вопрос о способах описания (задания) множества.
СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ МНОЖЕСТВА.
диаграммы Эйлера-Венна. Это графическое изображение множеств в универсуме. Универсум изображается прямоугольником, внутри которого располагаются множества, иллюстрирующиеся овалами. Результирующее множество выделяется штриховкой.
U
B
A
перечисление элементов. А={а1 а2 а3 а4 а5 а6}. Списком можно задавать только конечные множества. В данном случае последовательность элементов множества в произвольном порядке записывается в фигурных скобках. Множество целых чисел от n до m обозначается Аn..m
ПРИМЕР. D-3.. 3 ={ -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}
характеристический предикат. А={х| P(x)}. Это описание свойств элементов данного множества, где Р(х)- некоторое логическое выражение с логическим значением. Если результат Р(х) положителен (истинен), то элемент принадлежит множеству.
ПРИМЕР. D={nZ| -4<n<4}
Такие задания могут приводить к противоречиям, таким как парадокс Рассела: класс всех множеств, не содержащих себя в качестве элемента: А={B| BB}. Имеем: АА, тогда АА и обратно: АА, тогда АА. (Задача о лгунах: я всегда вру.)
порождающая процедура. А={х| х=F}. Здесь F – процедура, при работе которой появляются элементы множества.
ПРИМЕР. А={1, 2, 4, 8, 16, …}={n| 1A (nA2nA)}
Такое задание также называется рекурсивным. В курсе общей математики способ носит название математической индукции.