22. Разрезы и разделяющие множества графа. Примеры.

Множество E’ E называется разрезом (разделяющее множество), если оно не имеет подмножеств и его удаление увеличивает количество компонент связности k.

Множество вершин называется разделяющим вершины u и v, если при его удалении эти вершины принадлежат различным компонентам связности.

Разрез единичной длины называется мост.

Связный граф без точек сочленения называется блоком.

Теорема Менгера: Пусть u, v – несмежные вершины в графе G. Наименьшее число вершин в множестве, разделяющем вершины u и v, равно наибольшему числу цепей, непересекающимся по вершинам.

Сумма пропускных способностей ребер некоторого разреза называется пропускной способностью разреза.

Теорема Форда-Фалкерсона. Максимальный поток в сети равен минимальной пропускной способности его разреза.

23. Дерево и лес. Свойства деревьев. Диаметр и радиус дерева. Примеры.

Ациклический граф называется деревом, если k=1. При k>1 такой граф называется лес. Количество деревьев в лесе равно его k. Дерево не имеет кратных ребер и петель.

Количество деревьев, построенных на n вершинах, равно n^n-2.

Любое дерево однозначно определяется его расстоянием – длиной наименьшей цепи - между концевыми вершинами.

• Ориентированное дерево – ордерево;

• Любая цепь в дереве – простая;

• Любые две вершины в дереве связаны единственной цепью;

• Вершина дерева является висячей, если ее степень равна 1, инцидентное ей ребро тоже висячее.

Теорема о свойствах дерева: G=(V,E) - дерево, если:

k=1;

G не имеет циклов;

|E|=|V|-1;

если |V|2, то в G, по крайней мере, две висячие вершины.

Длина максимальной ветки дерева называется его высотой (h).

Расстояние от корня до вершины - уровень вершины (ребра).

Вершины одного уровня – ярус дерева.

Висячие вершины (ребра) имеют I уровень.

Вершина(-ы) максимального уровня называются центром (-ами) дерева.

Если в дереве 1 центр, то оно центрально, если 2 центра, то бицентрально.

Цепи, проходящие через центр(ы), называются диаметральными, а наибольшая из них – диаметр дерева.

Каждая вершина дерева имеет кортеж (последовательность натуральных чисел)- количество вершин соответствующей ветки.

Кортежи центров называются центральными.

Длина кортежа равна своему первому числу.

У изоморфных деревьев центральные кортежи совпадают.

Если в дереве одну из вершин выбрать корневой, и все ребра направить к корню или от корня, то получим ордерево.

Свойства ордерева:

|E|=|V|-1;

при отмене ориентации получим простое дерево;

в ордереве отсутствуют контуры;

в каждую вершину существует единственный путь из остальных вершин;

поддерево ордерева является ордеревом (называется ветка);

из свободного дерева можно получить ордерево, произвольно выбрав корень.

Если все ребра ордерева направлены к корню, то это сеть сборки.

Ордерево выровнено, если все висячие вершины располагаются на одном или двух последних уровнях. Для выровненного ордерева

Log₂(|V|+1)-1 h Log₂(|V|+1)

Ордерево упорядочено, если: 1). У него единственный корень v₀; 2). Множество V\v₀ разбивается на попарно непересекающиеся множества, на которых определяются поддеревья.

Пример: корневой каталог диска.

Дерево бинарное, если у корневого дерева s(v₀)=2, и дерево состоит из двух бинарных поддеревьев.

Бинарное дерево не является упорядоченным.

Обобщением ордерева является понятие сети.

Сеть задается парой C(V,ε), где V- множество вершин, ε = {Е₀, Е₁, Е₂,…}– семейство наборов дуг. В наборах Е_i (i=0,1,2,3,…) элементы могут повторяться.

Е₀ – множество полюсов, Е_i (i=,1,2,3,…) – множества дуг.

Если каждый из наборов Е_i (i=,1,2,3,…) содержит ровно 2 элемента, то сеть есть граф с выделенными полюсами.

Сеть, дуги которой нагружены пропускной способностью, называется транспортной сетью.