39. Уравнение Лапласа для электрического поля в проводящей среде

Так же, как и в электростатическом поле, напряженность электрического поля в проводящей среде:

В неизменном во времени поле:

Если среда однородна и изотропна, т.е.  = const, то можно записать:

или

(16.9)

Поле в однородной проводящей среде подчиняется уравнению Лапласа.

Это поле является потенциальным, в нем в областях, не занятых источниками .

40. Переход тока из среды с проводимостью 1 в среду

с проводимостью ₂. Граничные условия

Рис. 16.2. Поле на границе раздела двух сред

На рис.16.2 линия ОО есть граница раздела сред. Возьмем на границе раздела плоский замкнутый контур 1234. Составим циркуляцию вдоль этого контура. Стороны 12 и 34 его весьма малы по сравнению со сторонами 23 и 41, длину которых обозначим dl. Пренебрежем составляющими интеграла вдоль коротких сторон

,

. (16.10)

Это соотношение совпадает с соотношением (13.23) на границе раздела двух диэлектриков.

На границе раздела равны нормальные составляющие плотностей токов.

а б

Рис. 16.3. Определение нормальной составляющей поля

Выделим на границе раздела сред сплющенный параллелепипед (рис. 16.3а).

Поток вектора , втекающий в объем через нижнюю грань, равен ; поток вектора , вытекающий из объема через верхнюю грань – . Так как , то

(16.11)

Следовательно, при переходе тока из среды с одной проводимостью в среду с другой проводимостью остаются непрерывными тангенциальная составляющая вектора напряженности поля и нормальная составляющая плотности тока .

.

41 Аналогия между полем в проводящей среде и электростатическим полем

По своей природе электростатическое поле и поле постоянного тока в проводящей среде различны. Электростатическое поле создается электрическими зарядами, неизменными во времени и неподвижными в пространстве. Электрическое поле в проводящей среде создается электрическими зарядами, которые имеют упорядоченное движение под действием внешнего источника. Однако между полями существует формальная аналогия.

Электростатическое поле в областях, не занятых зарядами удовлетворяет уравнению Лапласа. Этому же уравнению удовлетворяет электрическое поле постоянного тока в проводящей среде вне сторонних источников. В обоих случаях имеют дело с вектором напряженности электрического поля . Диэлектрической проницаемости  соответствует проводимость . С вектором электрического смещения можно сопоставить вектор плотности тока . С потоком вектора – можно сопоставить поток вектора плотности электрического тока .

Граничные условия на поверхности раздела двух диэлектриков:

Граничные условия на поверхности раздела двух сред с различной проводимостью

Учитывая вышесказанное, можно сделать вывод, что при одинаковой форме граничных поверхностей картина поля в обоих случаях будет одинаковой (совокупность силовых и эквипотенциальных линий).