32. Поле заряженной оси, расположенной вблизи границы раздела двух диэлектриков

Рассмотрим поле оси, расположенной на расстоянии h от границы раздела двух диэлектриков с диэлектрическими проницаемостями ₁ и ₂ (рис. 15.12).

Вследствие поляризации диэлектриков на границе раздела выявятся связанные заряды, влияющие на поле в обеих средах. Учет их влияния на поле проводят путем введения двух дополнительных зарядов ₂ и ₃ (рис. 15.13).

Рис. 15.12. Ось, расположенная вблизи раздела диэлектриков

Рис. 15.13. Расчетная схема поля

Расчет поля в верхней полусфере ведется от двух зарядов: реального ₁ и фиктивного ₂, расположенных симметрично относительно границы раздела, причем среда всюду имеет диэлектрическую проницаемость ₁.

Расчет поля в нижней полусфере ведется от заряда ₃, расположенного в той же точке, что и ₁. Среда при этом всюду имеет проницаемость ₂.

Граничные условия реальной задачи

В данном случае

,

.

Откуда

Решая эту систему, получим

. (15.36)

Знак заряда ₂ совпадает со знаком заряда ₁, если ₁ > ₂. Знак заряда ₃ всегда тот же, что и знак ₁.

30. Поле двухпроводной линии над поверхностью земли

Для расчета поля введем две дополнительные оси. Определим потенциал произвольной точки M (рис. 15.14).

Согласно (15.30) потенциал произвольной точки от заряженной оси

В данном случае

или , (15.37)

где _1M и _2M – потенциальные коэффициенты, зависящие от характера среды и расположения проводов.

Уравнение (15.36) показывает, что потенциал прямо пропорционален заряду.

Потенциалы проводов можно записать в виде

(15.38)

Эти уравнения называются первой группой формул Максвелла.

С учетом расстояний, показанных на рис. 15.15, потенциальные коэффициенты можно определить по формулам:

Рис. 15.15. Размеры картины поля с учетом размера проводов

(15.39)

Коэффициент ₁₁ численно равен потенциалу ₁, когда на первом проводе находится единичный заряд, а на других проводах заряд отсутствует.

Коэффициент ₁₂ численно равен потенциалу ₁, когда на втором проводе находится единичный заряд, а на других проводах заряд отсутствует.

Аналогично можно описать другие потенциальные коэффициенты.

Решив систему (15.37) относительно зарядов, получим вторую группу формул Максвелла.

(15.40)

Коэффициенты  называют емкостными коэффициентами. Их размерность обратна размерности потенциальных коэффициентов. Коэффициенты с одинаковыми индексами положительны, а с разными – отрицательны.

Если ввести частичные емкости между проводами линии и землей (рис. 15.16), то заряды можно записать в виде

или

(15.41)

Емкости C₁₁, C₂₂ называются собственными частичными емкостями, C₁₂ и C₂₁ – взаимными частичные емкости.

Из сравнения систем (15.39) и (15.40) видно, что

Откуда следует, что

,

Если к проводам подведено напряжение U от незаземленного источника, то провода заряжаются так, что

, или .

В этом случае можно говорить о рабочей емкости линии

.

Подставив значение в уравнение (15.41) получим

При этом рабочая емкость будет равна

(15.42)

Согласно (15.38)

Подставив эти значения в (15.42) получим

(15.43)

Величина определяет влияние земли на величину емкости.

(Так как , то близость земли увеличивает емкость системы двух проводов.)